Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝x2－2x，其顶点为A.

(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；

(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”

①试求抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标；

②平移抛物线y＝x2－2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式.

Answer 1

【答案】(l)抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新抛物线的表达式是y＝(x＋1)2－1.

【解析】

（1），故该抛物线开口向上，顶点的坐标为；

（2）①设抛物线“不动点”坐标为，则，即可求解；②新抛物线顶点为“不动点”，则设点，则新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，四边形是梯形，则直线在轴左侧，而点，点，则，即可求解.

(l)，

抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是(1，－1)，

抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的.

(2)①设抛物线y＝x2－2x的“不动点”坐标为(t，t).

则t＝t2－2t，解得t1＝0，t2＝3.

所以，抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3).

②∵新抛物线的顶点B是其“不动点”，∴设点B的坐标为(m，m)

∴新抛物线的对称轴为直线x＝m，与x轴的交点为C(m，0)

∵四边形OABC是梯形，

∴直线x＝m在y轴左侧.

∵BC与OA不平行

∴OC∥AB.

又∵点A的坐标为(1，一1)，点B的坐标为(m，m)，

m＝－1.

∴新抛物线是由抛物线y＝x2－2x向左平移2个单位得到的，

∴新抛物线的表达式是y＝(x＋1)2－1.