Question

如图，在平面直角坐标系中，直线L：y=x是第一、三象限的角平分线．
（1）观察与探究：
由图易知：A（0，2）关于直线L的对称点A′的坐标为（2，0）；B（5，3）关于直线L的对称点B′的坐标为（3，5）；请在图中标出C（-6，1）关于直线L的对称点C′的位置，并写出它的坐标：C′

 

；
（2）归纳与发现：
结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线L的对称点P′的坐标为

 

（不必证明）；
（3）运用与拓广：已知两点M（3，-2）、N（-1，-4），试在直线L上确定一点Q，使点Q到M、N两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

Answer 1

分析：（1）作C（-6，1）关于直线l的对称点C'，C'（1，-6）；
（2）观察以上三组点的坐标，你会发现坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为（b，a）；
（3）点N关于直线l的对称点N'的坐标为（-4，-1），可求出点M、点N'的直线解析式为y=-

1

7

x-

11

7

．点Q是直线y=-

1

7

x-

11

7

与直线l：y=x的交点，解方程组：

y=x y=- 1 7 x- 11 7

即可得到点Q的坐标．

解答：解：（1）C′（1，-6）（2分）

（2）（b，a）（4分）

（3）直线L的解析式为y=x
作点N关于L的对称点N′（-4，-1），设直线MN的解析式为y=kx+b（7分）
则

-1=-4k+b -2=3k+b

k=- 1 7 b=- 11 7

∴y=-

1

7

x-

11

7

（10分）
解方程组

y=x y=- 1 7 x- 11 7

得x=y=-

11

8

∴直线L上的点Q(-

11

8

，-

11

8

)符合条件．（12分）

点评：此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．