Question

如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，AC=4，BC=3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．

Answer 1

分析：作辅助线：作CH⊥AB于H，由四边形DEFG为正方形，可得CM⊥GF与求得AB、CH的值，还可证得△ABC∽△GFC，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得正方形的边长．

解答：解：作CH⊥AB于H，
∵四边形DEFG为正方形，
∴CM⊥GF，
由勾股定理可得：AB=5，
根据三角形的面积不变性可求得CH=

12

5

，
设GD=x，
∵GF∥AB，
∴∠CGF=∠A，∠CFG=∠B，
∴△ABC∽△GFC，
∴

CM

CH

=

GF

AB

，
即　

12 5 -x

12 5

=

x

5

，
整理得：12-5x=

12

5

x，
解得：x=

60

37

，
答：正方形的边长为

60

37

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与直角三角形、正方形的性质．注意相似三角形对应高的比等于相似比定理的应用与数形结合思想与方程思想的应用．