Question

6．已知关于x的方程mx²+（4-3m）x+2m-8=0（m＞0）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根分别为x₁、x₂（x₁＜x₂），若n=x₂-x₁-$\frac{1}{2}$m，且点B（m，n）在x轴上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）首先得到△=（4-3m）²-4m（2m-8）=m²+8m+16=（m+4）²然后根据m＞0得到（m+4）²＞0从而得到△＞0，最后证得方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系得出关于m的方程求得答案即可．

解答 解：（1）∵△=（4-3m）²-4m（2m-8），
=m²+8m+16
=（m+4）²
又∵m＞0
∴（m+4）²＞0
即△＞0
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵方程的两个根分别为x₁、x₂（x₁＜x₂），
∴x₁+x₂=-$\frac{4-3m}{m}$，x₁•x₂=$\frac{2m-8}{m}$，
n=x₂-x₁-$\frac{1}{2}$m，且点B（m，n）在x轴上，
∴x₂-x₁-$\frac{1}{2}$m=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{2}{x}_{1}}$-$\frac{1}{2}$m=$\sqrt{（\frac{4-3m}{m}）^{2}-4×\frac{2m-8}{m}}$-$\frac{1}{2}$m=0，
解得：m=-2，m=4，
∵m＞0，
∴m=4．

点评 本题考查了根的判别式的知识，同时题目中还考查了配方法等知识，特别是解决第（2）题时，用公式法求含有字母系数方程更是个难点．