Question

19．已知：作图题：如图（1）和（2），P是直线m一动点，A．B两点在m的同侧，且A、B所在直线与m不平行．（不写作法，请保留作图痕迹．）

（1）当P点运动到P₁位置时，距离A点最近；运动到P₂位置时，距离B点最近，在图（1）中的直线m上分别画出点P₁、P₂的位置；
（2）当P点运动到P₃位置时，与A点的距离和与B点距离相等．请在图（1）中作出P₃位置；
（3）在直线m上是否存在这样一点P₄，使得到A点的距离与到B点的距离之和最小？若存在请在图（2）中作出这点，若不存在请说明理由；
（4）在直线m上是否存在这样一点P₅，使得到B点的距离与到A点的距离之差最大？若存在请在图（2）中作出这点；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据垂线段最短作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质作图即可；
（3）根据轴对称变换的性质作图；
（4）根据两点之间线段最短作图．

解答 解：（1）分别过点A、B作直线m的垂线，垂足分别为P₁、P₂，
则P₁、P₂即为所求；
；      
   （2）作线段AB的垂直平分线交直线m于P₃，
则P₃即为所求；
  ；
（3）作点A关于直线m对称点A′，连接BA′交直线m于P₄，
则P₄即为所求；
；       
 （4）连接BA并延长交直线m于P₅，
则P₅即为所求．
   

点评 本题考查的是垂线段的性质、线段垂直平分线的性质、轴对称变换，掌握它们的性质和基本尺规作图是解题的关键．