Question

3．已知抛物线C₁的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+2，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B在左边）与y轴于C点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）将抛物线C₁平移得到抛物线C₂，且C₂经过C₁上一点P（2，m）C₂交y轴于Q，当PQ与y轴相交所成的锐角为45°时，求C₂的解析式；
（3）将抛物线C₁沿直线BC平移，与射线AC仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的取值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0求出y，令y=0求出x即可．
（2）根据以及求出Q点坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）①列出方程组根据△=0求解．②由图象可知向下平移便可以确定抛物线顶点的横坐标的范围．

解答 解：（1）当y=0时，$\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2=0$解得x₁=-2，x₂=-4，
故A（-4，0），B（-2，0），
当x=0时，y=2，故C（0，2）．
（2）设平移后的抛物线C₂为：y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c．
∵x=2
∴y=$\frac{1}{4}×（2）^{2}+\frac{3}{2}×2+2$=6，
∴P（2，6），
∵PQ与y轴的夹角为45°，
∴Q₁（0，8），Q₂（0，4），
①将P（2，6），Q₁（0，8）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{1+2b+c=6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{2}}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴抛物线C₂为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+8．
②将P（2，6），Q₂（0，4）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{1+2b+c=6}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线C₂为y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+4．
（3）由题意可知直线AC为：y=$\frac{1}{2}$x+2，直线BC为y=x+1，
∵抛物线沿直线BC平移，抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+2的顶点为（-3，-$\frac{1}{4}$），
∴可以设平移后的抛物线为y=$\frac{1}{4}$（x+3-m）²+m-$\frac{1}{4}$，
①由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=\frac{1}{4}（x+3-m）^{2}+m-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$消去y得$\frac{1}{4}$x²+（1-$\frac{m}{2}$）x+$\frac{1}{4}$m²-$\frac{1}{2}m$=0，
由题意：△=0，（1-$\frac{m}{2}$）²-4×$\frac{1}{4}×（\frac{1}{4}{m}^{2}-\frac{1}{2}m）$=0，解得m=2，
此时抛物线为y=$\frac{1}{4}$（x+1）²+$\frac{7}{4}$，
∴抛物线顶点的横坐标为-1．
②由图象可知将抛物线C₁沿直线BC向下平移抛物线与射线AC也只有一个交点，当抛物线经过点A（-4，0）时，
$\frac{1}{4}（-m-1）^{2}+m-\frac{1}{4}$=0，解得m=-6（或0舍弃），
∵m=-6时，顶点的横坐标是-9
∴平移后的抛物线顶点的横坐标为x，则-9≤x＜-3．
综上所述满足条件的抛物线横坐标W为x，则x=-1或-9≤x＜-3．

点评 本题考查待定系数法求二次函数的解析式、抛物线的平移等有关知识，要求学会求抛物线与坐标轴的交点坐标，会利用判别式确定两个函数的交点个数．