Question

4．已知点P（1，m）、Q（n，1）在反比例函数y=$\frac{5}{x}$的图象上，直线y=kx+b经过点P、Q，且与x轴、y轴的交点分别为A、B两点．
（1）求 k、b的值；
（2）O为坐标原点，C在直线y=kx+b上且AB=AC，点D在坐标平面上，顺次联结点O、B、C、D的四边形OBCD满足：BC∥OD，BO=CD，求满足条件的D点坐标．

Answer 1

分析 （1）把P、Q的坐标代入反比例函数解析式可求得m、n的值，再把P、Q坐标代入直线解析式可求得k、b的值；
（2）结合（1）可先求得A、B坐标，可求得C点坐标，再由条件可求得直线OD的解析式，由BO=CD可求得D点坐标．

解答 解：
（1）把P（1，m）代入y=$\frac{5}{x}$，得 m=5，
∴P（1，5），
把Q（n，1）代入y=$\frac{5}{x}$，得 n=5，
∴Q（5，1），
P（1，5）、Q（5，1）代入y=kx+b得 $\left\{{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{5k+b=1}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}}\right.$，
即k=-1，b=6；
（2）由（1）知 y=-x+6，
∴A（6，0）B（0，6）
∵C点在直线AB上，
∴设C（x，-x+6），
由AB=AC得$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{（x-6）^{2}+（-x+6）^{2}}$，
解得x=12或x=0（不合题意，舍去），
∴C（12，-6），
∵直线OD∥BC 且过原点，
∴直线OD解析式为y=-x，
∴可设D（a，-a），
由OB=CD 得6=$\sqrt{（a-12）^{2}+（-a+6）^{2}}$，
解得a=12或a=6，
∴满足条件的点D坐标是（12，-12）或（6，-6）．

点评 本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键，在（2）中注意直线PD的位置．