Question

15．如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BC=1，在BC的延长线上任取一点P，过点P作PD⊥BC，使得PD=2PC，则当点P在BC延长线上向左移动时，△ABD的面积大小变化情况是（　　）

• A． 一直变大
• B． 一直变小
• C． 先变小再变大
• D． 先变大再变小

Answer 1

分析 根据题意和函数图象可以得到ABD的面积大小变化情况，从而可以解答本题．

解答 解：当BD与AC的交点在线段AC上时，如图1所示，
设PC=x，则PD=2x，PB=x+1，
则S_△ABD=S_梯形ADPC+S_△ACB-S_△PBD=$\frac{（2x+1）x}{2}+\frac{1×1}{2}-\frac{2x•（x+1）}{2}$=$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$，
∴△ABD的面积随x的增大而减小；
当BD与AC的交点在线段CA的延长线上时，如图2所示，
设PC=x，则PD=2x，PB=x+1，
∵△BCE∽△BPD，
∴$\frac{CE}{PD}=\frac{BC}{BP}$，
即$\frac{CE}{2x}=\frac{1}{x+1}$，
∴CE=$\frac{2x}{x+1}$，
∴AE=$\frac{2x}{x+1}-1=\frac{x-1}{x+1}$，
∴△ABD的面积是：$\frac{1}{2}•\frac{x-1}{x+1}•（x+1）$=$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$，
∴△ABD的面积随x的增大而增大，
由上可得，△ABD的面积随x的增大先变小后变大，
故选C．

点评 本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，写出相应的三角形的面积随点P在BC延长线上向左移动时的函数解析式．