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    15、如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．
    （1）求证：△AMB≌△ENB；
    （2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC的费尔马点，试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
    （3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．
    分析：（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB；
    （2）连接MN，由（1）的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
    （3）根据（2）中费尔马点的定义，又△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．
    解答：解：（1）证明：∵△ABE为等边三角形，
    ∴AB=BE，∠ABE=60°．
    而∠MBN=60°，
    ∴∠ABM=∠EBN．
    又∵BM=BN，
    ∴△AMB≌△ENB．
    （2）连接MN．由（1）知，AM=EN．
    ∵∠MBN=60°，BM=BN，
    ∴△BMN为等边三角形．
    ∴BM=MN．
    ∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
    ∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．
    此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°；
    ∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；
    ∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．
    （3）由（2）知，△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．
    因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．
    点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
    （1）用签字笔画AD∥BC（D为格点），连接CD；
    （2）线段CD的长为
     
    ；
    （3）请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是
     
    ，则它所对应的正弦函数值是
     
    ；
    （4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下面的材料，并回答所提出的问题：如图所示，在锐角三角形ABC中，求证：
    b
    sinB
    =
    c
    sinC

    这个三角形不是一个直角三角形，不能直接使用锐角三角函数的知识去处理，所以必须构造直角三角形，精英家教网过点A作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ABD和Rt△ACD中由正弦定义可完成证明．
    解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
    在Rt△ABD中，sinB=
    AD
    AB
    ，则AD=csinB
    Rt△ACD中，sinC=
    AD
    AC
    ，则AD=bsinC
    所以c sinB=b sinC，即
    b
    sinB
    =
    c
    sinC

    （1）在上述分析证明过程中，主要用到了下列三种数学思想方法的哪一种（　　）
    A、数形结合的思想；B、转化的思想；C、分类的思想
    （2）用上述思想方法解答下面问题．
    在△ABC中，∠C=60°，AC=6，BC=8，求AB和△ABC的面积．
    （3）用上述结论解答下面的问题（不必添加辅助线）
    在锐角三角形ABC中，AC=10，AB=5
    		6
    ，∠C=60°，求∠B的度数．

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    科目：初中数学 来源：福建省泉州市2012年中考数学试题 题型：044

    已知：A、B、C不在同一直线上．

    (1)若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

    A、B、C如图一，当∠A＝45°时，R＝1，求∠BOC的度数和BC的长度；

    Ⅱ．如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A＝；

    (2)若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN(B、C均与点A不重合)滑动，如图三，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：福建省中考真题 题型：解答题

    已知：A 、B 、C 不在同一直线上.
    （1）若点A 、B 、C 均在半径为R 的⊙O上，
    （I）如图一，当∠A=45 °时，R=1 ，求∠BOC 的度数和BC 的长度； 
    （Ⅱ）如图二，当∠A 为锐角时，求证sin ∠A=；
    （2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：A、B、C不在同一直线上.

    （1）.若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，

    A、B、C如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；

    Ⅱ.如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A=；

    （2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由.　　　　　　　　 N　 Q

    　

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