Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）设动点N（－2，n），求使MN＋BN的值最小时n的值；

（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似，（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）令y=0可求得点A、点B的横坐标，令x=0可求得点C的纵坐标；
（2）根据两点之间线段最短作M点关于直线x=-2的对称点M′，当N（-2，N）在直线M′B上时，MN+BN的值最小；
（3）需要分类讨论：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根据相似三角形的性质求得PB的长度，然后可求得点P的坐标．

（1）令y=0得x1=-2，x2=4，
∴点A（-2，0）、B（4，0）
令x=0得y=-，
∴点C（0，-）
（2）将x=1代入抛物线的解析式得y=-
∴点M的坐标为（1，-）
∴点M关于直线x=-2的对称点M′的坐标为（-5，）
设直线M′B的解析式为y=kx+b
将点M′、B的坐标代入得：
解得： ，
所以直线M′B的解析式为y=．
将x=-2代入得：y=- ，
所以n=-．
（3）过点D作DE⊥BA，垂足为E．

由勾股定理得：
AD= ，
如下图，①当P1AB∽△ADB时，

∴P1B=6
过点P1作P1M1⊥AB，垂足为M1．
∴
解得：P1M1=6，
∵
解得：BM1=12
∴点P1的坐标为（-8，6）或（12、6）．
∵点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在；
②当△P2AB∽△BDA时，
∴P2B=6过点P2作P2M2⊥AB，垂足为M2．
∴
∴P2M2=2
∵
∴M2B=8
∴点P2的坐标为（-4，2）
将x=-4代入抛物线的解析式得：y=2，
∴点P2在抛物线上．
由抛物线的对称性可知：点P2与点P4关于直线x=1对称，
∴P4的坐标为（6，2），
当点P3位于点C处时，两三角形全等，所以点P3的坐标为（0，-），
综上所述点P的坐标为：（-4，2）或（6，2）或（0，-）时，以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似．