Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若PN：PM＝1：4，求m的值；

（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）m＝3；（3）

【解析】

（1）本题需先根据图象过A点，代入即可求出解析式；（2）由△OAB∽△PAN可用m表示出PN，且可表示出PM，由条件可得到关于m的方程，则可求得m的值；（3）在y轴上取一点Q，使，可证的△P2OB∽△QOP2，则可求得Q点坐标，则可把AP2+BP2转换为AP2+QP2，利用三角形三边关系可知当A、P2、Q三点在一条线上时，有最小值，则可求出答案.

解：（1）∵A（4，0）在抛物线上，

∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a＝﹣，

∴抛物线的解析式为y＝；

（2）∵

∴令x＝0可得y＝2，

∴OB＝2，

∵OP＝m，

∴AP＝4﹣m，

∵PM⊥x轴，

∴△OAB∽△PAN，

∴，

∴，

∴，

∵M在抛物线上，

∴PM＝+2，

∵PN：MN＝1：3，

∴PN：PM＝1：4，

∴，

解得m＝3或m＝4（舍去）；

（3）在y轴上取一点Q，使，如图，

由（2）可知P1（3，0），且OB＝2，

∴，且∠P2OB＝∠QOP2，

∴△P2OB∽△QOP2，

∴，

∴当Q（0，）时，QP2＝，

∴AP2+BP2＝AP2+QP2≥AQ，

∴当A、P2、Q三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值，

∵A（4，0），Q（0，），

∴AQ＝＝，

即AP2+BP2的最小值为