Question

16．在平面直角坐标系中，原点为O，直线l经过两点A（2，0）和点B（0，4），点P（m，n）（mn≠0）在直线l上．
（1）若OP=2，求点P的坐标；
（2）过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N，设矩形OMPN周长的一半为t，面积为s．当m＜2时，求s关于t的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）先设直线l的关系式为y=kx+b，然后将A（2，0），B（0，4）两点代入关系式，求出关系式为：y=-2x+4，由点P（m，n）（mn≠0）在直线l上，进而可得m与n之间的关系为：n=-2m+4，由OP=2，可得m²+n²=4，然后即可求出m、n的值，进而确定点P的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
（2）由（1）知：关系式为：y=-2x+4，m与n之间的关系为：n=-2m+4，然后分两种情况讨论①当m＜0时，t=|PM|+|PN|=n-m=-3m+4，进而可得t＞4，从而得到m=-$\frac{1}{3}t$+$\frac{4}{3}$，然后由S=|PM|•|PN|=-mn，将m=-$\frac{1}{3}t$+$\frac{4}{3}$，与n=-2m+4代入即可得到S与t的关系式；②当0＜m＜2时，t=|PM|+|PN|=n+m=-m+4，进而得到2＜t＜4，从而可得m=-t+4，然后由S=|PM|•|PN|=mn，将m=-t+4与n=-2m+4代入即可S与t的关系式．

解答 解：（1）设直线l的关系式为y=kx+b，
将A（2，0），B（0，4）两点代入关系式，得：
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：b=4，k=-2，
∴y=-2x+4，
∵点P（m，n）（mn≠0）在直线l上，
∴n=-2m+4，由
∵OP=2，
∴m²+n²=4，
m²+（-2m+4）²=4，
解得：m=2或m=$\frac{6}{5}$，
当m=2时，n=0，不符合题意应舍去，
故m=$\frac{6}{5}$，
∴n=$\frac{8}{5}$，
∴P的坐标为（$\frac{6}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
（2）由（1）知：关系式为：y=-2x+4，m与n之间的关系为：n=-2m+4，
①当m＜0时，
t=|PM|+|PN|=n-m=-3m+4，
∴t＞4，
∴m=-$\frac{1}{3}t$+$\frac{4}{3}$，
∵S=|PM|•|PN|=-mn，m=-$\frac{1}{3}t$+$\frac{4}{3}$，n=-2m+4，
S=-（-$\frac{1}{3}$t+$\frac{4}{3}$）（-2m+4）
=-（-$\frac{1}{3}$t+$\frac{4}{3}$）（$\frac{2}{3}$t+$\frac{4}{3}$）
=$\frac{2}{9}$t²-$\frac{4}{9}$t-$\frac{16}{9}$（t＞4）；
②当0＜m＜2时，
∵t=|PM|+|PN|=n+m=-m+4，
∴2＜t＜4，
∴m=-t+4，
∵S=|PM|•|PN|=mn，
∵m=-t+4，n=-2m+4，
∴S=（-t+4）（-2m+4）
=-2t²+12t-16（2＜t＜4）．
故当m＜2时，s关于t的函数解析式为：$\left\{\begin{array}{l}{S=\frac{2}{9}{t}^{2}-\frac{4}{9}t-\frac{16}{9}（t＞4）}\\{S=-2{t}^{2}+12t-16（2＜t＜4）}\end{array}\right.$．

点评 此题是一次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，及确定点的坐标等知识，解题的关键是：问题（2）应分两种情况进行讨论．