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如图①,已知点D在AB上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且M为EC的中点.
(1)求证:△BMD为等腰直角三角形.(思路点拨:考虑M为EC的中点的作用,可以延长DM交BC于N,构造△CMN≌△EMD,于是ED=CN=DA,即可以证明△BND也是等腰直角三角形,且BM是等腰三角形底边的中线就可以了.)请你完成证明过程.
(2)将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时(如图②所示位置),△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.
(1)证明:延长DM交BC于N,
∵∠EDA=∠ABC=90°,
∴DEBC,
∴∠DEM=∠MCB,
在△EMD和△CMN中
∠DEM=∠NCM
EM=CM
∠EMD=∠NMC

∴△EMD≌△CMN,
∴CN=DE=DA,MN=MD,
∵BA=BC,
∴BD=BN,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
∴BM⊥DM,∠DBM=
1
2
∠DBN=45°=∠BDM,
∴△BMD为等腰直角三角形.

(2)△BMD为等腰直角三角形的结论仍成立,
证明:作CNDE交DM的延长线于N,连接BN,
∴∠E=∠MCN=45°,
∵∠DME=∠NMC,EM=CM,
∴△EMD≌△CMN(ASA),
∴CN=DE=DA,MN=MD,
又∵∠DAB=180°-∠DAE-∠BAC=90°,
∠BCN=∠BCM+∠NCM=45°+45°=90°,
∴∠DAB=∠BCN,
在△DBA和△NBC中
DA=CN
∠DAB=∠
BA=BC
BCN

∴△DBA≌△NBC,
∴∠DBA=∠NBC,DB=BN,
∴∠DBN=∠ABC=90°,
∴△DBN是等腰直角三角形,且BM是底边的中线,
∴BM⊥DM,∠DBM=
1
2
∠DBN=45°=∠BDM,
∴△BMD为等腰直角三角形.
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