Question

如图，已知直线l₁的解析式为y=3x+6，直线l₁，与x轴、y轴分别相交于A，B两点，直线l₂经过B，C两点，点C的坐标为（8，0）．又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l₂上从点C向点B移动，点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t s（1＜t＜10）．
（1）求直线l₂的解析式；
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）由直线l₁的解析式为y=3x+6，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，设直线l₂的解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线l₂的解析式；
（2）由移动时间为ts，根据P与Q的速度为每秒1个单位长度，得到AP=t，CQ=t，在直角三角形BOC中，由OB与OC的长，利用勾股定理求出BC的长，过Q作QD垂直于x轴，得出三角形QDC与三角形BOC相似，由相似得比例表示出QD，由OA+OC求出AC的长，根据AC-AP求出PC的长，三角形PQC以PC为底边，QD为高，表示出S与t的函数解析式即可．

解答：解：（1）由直线l₁的解析式为y=3x+6，
令x=0，得到y=6；令y=0，得到x=-2，即A（-2，0），B（0，6），
设直线l₂的解析式为y=kx+b，
将B（0，6），C（8，0）代入得：

b=6 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
则直线l₂的解析式为y=-

3

4

x+6；
（2）由移动时间为ts，得到AP=t，CQ=t，
在Rt△BOC中，OB=6，OC=8，
根据勾股定理得：BC=

62+82

=10，
过Q作QD⊥x轴，可得△CQD∽△CBO，
∴

QD

OB

=

CQ

CB

，即

QD

6

=

t

10

，即QD=

3

5

t，
∵AP=t，OA=2，OC=8，
∴PC=AC-AP=OA+OC-AP=10-t，
则S_△PQC=

1

2

QD•PC=

1

2

×

3

5

t×（10-t）=-

3

10

t²+3t．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．