Question

【题目】如图，△OAB中，OA=OB = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心， 6为半径的优弧MN分别交OA，OB于点M，N．

（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP=BP′；

（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；

（3）设点Q在优弧MN上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）10°或170°．

【解析】

试题分析：（1）首先根据已知得出∠AOP=∠BOP′，进而得出△AOP≌△BOP′，即可得出答案；

（2）利用切线的性质得出∠ATO=90°，再利用勾股定理求出AT的长，进而得出TH的长即可得出答案；

（3）当OQ⊥OA时，△AOQ面积最大，且左右两半弧上各存在一点分别求出即可．

试题解析：（1）如图1，

∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP，

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP，

∴∠AOP=∠BOP′，

∵在△AOP和△BOP′中

∴△AOP≌△BOP′（SAS），

∴AP=BP′；

（2）如图1，连接OT，过点T作TH⊥OA于点H，

∵AT与弧MN相切，

∴∠ATO=90°，

∴AT===8，

∵×OA×TH=×AT×OT，

即×10×TH=×8×6，

解得：TH=，即点T到OA的距离为；

（3）如图2，当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大；

理由：∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，

∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°，

当Q点在优弧MN右侧上，

∵OQ⊥OA，

∴QO是△AOQ中最长的高，则△AOQ的面积最大，

∴∠BOQ=∠AOQ-∠AOB=90°-80°=10°，

综上所述：当∠BOQ的度数为10°或170°时，△AOQ的面积最大．