Question

【题目】已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．

（1）如图，当∠APB＝30°时，

①按要求补全图形；②求AB和PC的长．

（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为　 　，此时∠APB＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②AB＝2，PC＝2；（2）2+4，120°．

【解析】

（1）①按要求补全图形即可；

②作AH⊥PB于H，在Rt△APH中，由直角三角形的性质得出PH＝PA＝1，由勾股定理得出PH＝，得出BH＝3，在Rt△AHB中，由勾股定理得AB＝2；再由旋转的性质和勾股定理求出P'B，即可得出PC的长；

（2）把△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，根据旋转的性质得AP'＝AP＝2，P'B＝PC，∠P'AP＝60°，得出△APP'为等边三角形，得出PP'＝PA＝2，∠APP'＝60°，当P'点在直线PB上时，P'B最大，得出P'B的最大值，即可得出PC的最大值，此时∠APB＝120°．

（1）①补全图形，如图1所示：

②作AH⊥BP于H，如图2所示：

在Rt△APH中，∵∠APB＝30°，

∴AH＝PA＝1，

∴PH＝＝，

∴BH＝PB﹣PH＝3，

在Rt△AHB中，AB＝＝2，

把△PAC绕点A顺时针旋转60°得△P'AB，连接PP'，如图3所示：

则∠APP'＝60°，AP'＝AP，PC＝P'B，

∴△APP'是等边三角形，

∴PP'＝PA＝2，

∵∠APB＝30°，

∴∠BPP'＝90°，

∴P'B＝＝2，

∴PC＝2；

（2）把△PAC绕点A顺时针旋转60°得到△P'AB，

则AP'＝AP＝2，P'B＝PC，∠P'AP＝60°，

∴△APP'为等边三角形，

∴PP'＝PA＝2，∠APP'＝60°，

当P'点在直线PB上时，如图4所示：

此时P'B最大，最大值为2+4，

∴PC的最大值为2+4，此时∠APB＝120°；

故答案为：2+4，120°．