Question

如图，已知⊙O₁、⊙O₂交于点A、B，O₁A、O₁B的延长线分别与⊙O₂交于点C、D．
（1）求证：AC=BD；
（2）若⊙O₁的半径为5，O₁O₂=10，sin∠AO₁O₂=，求CD的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接AB，过点O₂作O₂E⊥AC、O₂F⊥BD，垂足分别为点E、F，
∵O₁O₂是连心线，AB是公共弦，
∴O₁O₂垂直平分AB．
又O₁A=O₁B，
∴O₁O₂平分∠AO₁B．
∴O₂E=O₂F．
∴AC=BD．

（2）连接CD，
∵O₁O₂=10，，
∴O₂E=6，O₁E=8．
又∵⊙O₁的半径为5，
∴AE=3，从而AC=6．
又可得AB=6．
∵O₁A=O₁B，AC=BD，
∴AB∥CD．
∴△ABO₁∽△CDO₁，
∴，
∴，
∴．
分析：（1）连接AB，过点O₂作O₂E⊥AC、O₂F⊥BD，垂足分别为点E、F，要证明AC=BD，只需证明它们的弦心距相等，结合已知条件，只需根据相交两圆的性质，可以得到相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，再根据角平分线上的点到线段两个端点的距离相等，即可证明；
（2）设AB与连心线的交点是F，在直角三角形AO₁F中和直角三角形O₁O₂E中，根据锐角三角函数sin∠AO₁O₂=，和⊙O₁的半径为5，O₁O₂=10可以求得AF，O₂E，O₁E的长，进一步求得AB的长和AC的长，根据O₁A=O₁B，AC=BD，得到AB∥CD，再进一步写出要求的线段和已知的线段之间的比例式进行求解．
点评：连接相交两圆的公共弦是相交两圆中常见的辅助线之一．能够综合运用相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦、等腰三角形的三线合一、角平分线的性质、两条弦的弦心距相等，则两条弦相等的性质；能够熟练运用锐角三角函数进行计算．