Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，为原点，抛物线经过三点，且其对称轴为其中点，点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）①如图（1），点是直线上方抛物线上的动点，当四边形的面积取最大值时，求点的坐标；

②如图（2），连接在抛物线上有一点满足，请直接写出点的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①D，②或

【解析】

（1）根据点，点，利用待定系数法，可得函数解析式；
（2）①先求出直线BC的解析式，当直线m与抛物线只有一个交点时，点D到BC的距离最远，此时△BCD取最大值，故四边形DCAB有最大值，求出b的值代入原式即可得到答案；
②根据题干条件抛物线上有一点满足，通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE的解析式，可得答案．

解：（1）由题意得：

解得

故抛物线的解析式是.

图（1） 图（2）

（2）①设直线BC的解析式为y=kx+.

∵直线BC过点B（3，0），

∴0=3k+

则k=，

故直线BC解析式为y=x+.

设直线m解析式为，且直线m∥直线BC

当直线m与抛物线只有一个交点时，点D到BC的距离最远，此时△BCD取最大值，故四边形DCAB有最大值.

令，

当时

直线m与抛物线有唯一交点

解之得：

代入原式可求得：

∴D

图（3）

过D作DP∥y轴交CB于点P，△DCB面积=△DPC面积+△DPB面积，

∴D

②存在，点M的横坐标为或

解题提示：如图3

符合条件的直线有两条： CM1和CM2（分别在CB的上方和下方）

∵在Rt△ACO中，∠ACO=30°，在Rt△COB中，∠CBO=30°，

∴∠BCM1=∠BCM2=15°

∵△BCE中，∠BCE=∠BEC2=15°

∴BC=BE=

则E（，0）

设直线CE解析式为：

∴

解之得：k=

∴直线CE解析式为：

∴

解得：x1=0，x2=2－1

∵ 在Rt△OCF中，∠CBO=30°，∠BCF=15°

∴在Rt△COF中， ∠CFO=45°

∴OC=OF=

∴F（，0）

∴直线CF的解析式为

∴

解之得：（舍去），

即点M的横坐标为：或