Question

如图，已知△ABC的内切圆⊙I切三边于D、E、F，若∠BAC＝70°，P为上任意一点．试求∠DEF和∠DPF的度数．

Answer 1

答案：
解析：

解：连结ID、IF， 　　∵⊙I为△ABC的内切圆，切点为D、E、F， 　　∴ID⊥AB，IF⊥AC， 　　∴∠A＋∠DIF＝180°， 　　又∵∠BAC＝70°， 　　∴∠DIF＝110°，∠DEF＝∠DIF＝55°． 　　又四边形DEFP内接于⊙I， 　　∴∠DPF＝180°－∠DEF＝125°． 　　思路点拨：因为∠DEF是圆周角，所以可先求相应的圆心角∠DIF，根据内心的性质．知ID⊥AB，IF⊥AC，从而可找出∠A与∠DIF的关系，可求出∠DIF，再根据圆的内接四边形的性质求出∠DPF． 　　评注：①本题是有关内切圆的又一典型问题，常作出内心到三边的距离，构造直角三角形解题． 　　②一般地，已知∠A与∠DEF中之一，可求出另一角，它们的关系式为：∠DEF＝90°－∠A．