Question

如图，有一块三角形土地，它的底边BC=100米，高AH=80米，某单位要沿着地边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC的边上，问当这个矩形面积最大时，它的长与宽各是多少米？面积最大为多少平方米？

Answer 1

分析：设DG的长为x，矩形DEFG面积为y，易证得△ADG∽△ABC，那么它们的对应边和对应高的比相等，可据此求出AP的表达式，进而可求出PH即DE、GF的长，已知矩形的长和宽，即可根据矩形的面积公式得到y、x的函数关系式；根据所得函数的性质及自变量的取值范围，即可求出矩形的最大面积及对应的DG的长．

解答：解：（1）设DG的长为x，矩形DEFG面积为y，
∵矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，
∴DG∥BC，（1分）
∴△ADG∽△ABC（2分）
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG
∴

AP

AH

=

DG

BC

，
∴

AP

80

=

DG

100

，（2分）
∴AP=

4

5

x，DE=PH=80-

4

5

x，（1分）
∴y=-

4

5

x2+80x（0＜x＜100）；（2分）

（2）y=-

4

5

x2+80x=-

4

5

（x²-100x+2500）+2000=-

4

5

（x-50）²+2000；（1分）
根据函数图象可知，抛物线y=-

4

5

x2+80x，开口向下，抛物线的顶点坐标是它的最高点，且x=50在函数的定义域内；（1分）
所以当DG的长为50米，DE=40米时，矩形DEFG面积最大为2000平方米．（2分）
答：长与宽各是50米和40米，面积最大为2000平方米．

点评：本题考查了一元二次方程的最大值的求值问题，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中求得x的值使得xy有最大值是解题的关键．