Question

（2011•西双版纳）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线y=kx-1与抛物线交于A、C两点，其中A（-1，0），B（3，0），点C的纵坐标为-3．
（1）求k的值；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，写出所有满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把（-1，0）代入y=kx-1，即可求得k的值；
（2）首先求得C的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（3）P在AC的中垂线上，首先求得AC的中垂线的解析式，然后与二次函数的解析式组成方程组，即可求得P的坐标．

解答：解：（1）把（-1，0）代入y=kx-1，得：-k-1=0，解得：k=-1；

（2）在y=-x-1中，令y=-3，解得：-x-1=-3，解得：x=2，则C的坐标是（2，-3）．
设抛物线的解析式是：y=ax²+bx+c，
则

a-b+c=0 9a+3b+c=0 4a+2b+c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
则函数的解析式是：y=x²-2x-3；

（3）A、C的中点是：（

1

2

，-

3

2

），
∵△ACP是等腰三角形，且以AC为底边，
∴P在AC的中垂线上，
∴设AC的中垂线的解析式是：y=x+c，把（

1

2

，-

3

2

）代入得：

1

2

+c=-

3

2

，解得：c=-2．
则解析式是：y=x-2．
根据题意得：

y=x-2 y=x2-2x-3

；
解得：

x= 3+ 13 2 y= 13 -1 2

或

x= 3- 13 2 y=- 13 +1 2

．
故P的坐标是：（

3+ 13

2

，

13 -1

2

）或（

3- 13

2

，-

13 +1

2

）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，理解互相垂直的直线的解析式之间的关系是关键．