【答案】
分析:(1)把点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)代入直线y=-x+p上得到方程组
,求出方程组的解
,得出A、B、C的坐标,设抛物线y=ax
2+bx+c=a(x-3)(x+1),把C(2,-3)代入求出a即可;
(2)AC所在直线的解析式为:y=-x-1,根据平行四边形ACQP的面积为12,求出AC边上的高为2
,过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K,求出DK、DN,得到PQ的解析式为y=-x+3或y=-x-5,求出方程组的解,即可得到P
1(3,0),P
2(-2,5),根据ACQP是平行四边形,求出Q的坐标;同法求出以AC为对角线时P、Q的坐标;
(3)设M(t,t
2-2t-3),(-1<t<3),过点M作y轴的平行线,交PQ所在直线于点T,则T(t,-t+3),求出MT=-t
2+t+6,过点M作MS⊥PQ所在直线于点S,求出MS=-
(t-
)
2+
,即可得到答案.
解答:解:(1)∵点A(m-4,0)和C(2m-4,m-6)在直线y=-x+p上
∴
,
解得:
,
∴A(-1,0),B(3,0),C(2,-3),
设抛物线y=ax
2+bx+c=a(x-3)(x+1),
∵C(2,-3),代入得:-3=a(2-3)(2+1),
∴a=1
∴抛物线解析式为:y=x
2-2x-3.
答:抛物线解析式为y=x
2-2x-3.
(2)解:A(-1,0),C(2,-3),由勾股定理得:AC=
=3
,
AC所在直线的解析式为:y=-x-1,
∠BAC=45°,
∵平行四边形ACQP的面积为12,
∴平行四边形ACQP中AC边上的高为
=2
,
过点D作DK⊥AC与PQ所在直线相交于点K,DK=2
,
∴DN=4,
∵四边形ACQP,PQ所在直线在直线ADC的两侧,可能各有一条,
∴根据平移的性质得出直线PQ的解析式为①y=-x+3或②y=-x-5,
∴由①得:
,
解得:
或
,
由②得:
,方程组无解,
即P
1(3,0),P
2(-2,5),
∵ACQP是平行四边形,A(-1,0),C(2,-3),
∴当P(3,0)时,当以AC为边时,Q
1(6,-3),Q
2(0,3),
当P(-2,5)时,当以AC为边时,Q
3(1,2),Q
4(-5,8),
以AC为对角线时,P到AC的距离是12÷2÷(
×3
)=2
,
过C作CR⊥AC交x轴于R,则AC=CR=3
,由勾股定理得:AR=6,
则R的坐标是(5,0)过R作AC的平行线交抛物线于两点,
则此直线的解析式是y=-(x-6)-1=-x+5,
解方程组
得:
,
,
即在AC的两旁各有一条直线,但当在AC下方时,直线和抛物线不能相交,
此时P坐标是(
,
),Q坐标是(
,
)或P的坐标是(
,
)Q的坐标是(
,-
)
答:点P,Q的坐标是P
1(3,0),Q
1(6,-3)或(0,3)
或P
2(-2,5),Q
2(1,2)或(-5,8),或P
3(
,
),Q
3(
,
)或P
4(
,
),Q
4(
,-
).
(3)解:设M(t,t
2-2t-3),(-1<t<3),
过点M作y轴的平行线,交PQ所在直线于点T,则T(t,-t+3),
MT=(-t+3)-(t
2-2t-3)=-t
2+t+6,
过点M作MS⊥PQ所在直线于点S,
MS=
MT=
(-t
2+t+6)=-
(t-
)
2+
,
则当t=
时,M(
,-
),△PQM中PQ边上高的最大值为
,
∵P
1(3,0),Q
1(6,-3)或P
2(-2,5),Q
2(1,2).
∴当P(3,0),Q(6,-3)时,PQ=
=3
.
当P(-2,5),Q(1,2)时,PQ=
=3
,
∴S
△PQM=
×PQ×
=
.
答:△PQM的最大面积是
,点M的坐标是(
,-
).
点评:本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,二次函数的最值,平行四边形的性质,解二元一次方程组等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键,此题是一个综合性比较强的题目,有一定的难度.