Question

如图△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC绕着它的斜边中点P逆时针旋转90°至△DEF的位置，DF交BC于点H．
（1）PH=______cm．
（2）△ABC与△DEF重叠部分的面积为______cm²．

Answer 1

解：设AC与DF和EF的交点分别为M，N，如下图所示：

（1）∵∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，点P为斜面中点，
∴FD=6cm，DE=6cm，FP=6cm，
根据旋转前后对应角相等可知：△FHP∽△FED，
∴，即，
解得：PH=2，FH=4；

（2）∵∠C是公共角，∠CPN=∠A=90°，
∴△PNC∽△ABC得，==，即，其中CP=6，
解得NP=2，NC=4．
FN=FP-NP=6-2，
由△FMN∽△CPN，可知=，
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知
S_{四边形MNPH}=S_△FHP-S_△FMN=S_△CNP-（1-）S_△CNP=6×××=9．
△ABC与△DEF重叠部分的面积为9cm²．
故答案为：2，9．
分析：（1）根据旋转前后对应角相等可知：△FHP∽△FED，又点P为斜面中点，FP=6cm，在根据相似三角形的对应边的比相等即可求出PH的长；
（2）把所求阴影部分面积看作△FHP与△FMN的面积差，并且这两个三角形都与△ABC相似，根据∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，求出对应边的长，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求面积即可．
点评：本题考查了旋转的性质及含30度角的直角三角形的知识，有一定难度，注意相似三角形性质的熟练运用．