Question

9．已知△ABC中，AC=BC=3$\sqrt{2}$，∠C=90°，AB上有一动点P，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）设CF=x，用含x的代数式把Rt△AEP，Rt△PFB及矩形ECFP的面积表示出来．
（2）当x取何值时，矩形ECFP的面积最大？此时Rt△AEP，Rt△PFB及矩形ECFP的面积又是多少？

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由已知条件得出四边形ECFP是矩形，PE=CF=x，BF=3$\sqrt{2}$-x，证出△APE，△BPF是等腰直角三角形，得出AE=PE=x，PF=BF=3$\sqrt{2}$-x，即可得出Rt△AEP，Rt△PFB及矩形ECFP的面积；
（2）把矩形ECFP的面积化成顶点式=-（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，即可得出当x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，矩形ECFP的面积最大=$\frac{9}{2}$；求出△AEP的面积和△PFB的面积即可．

解答 解：（1）∵AC=BC=3$\sqrt{2}$，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，
∴四边形ECFP是矩形，PE=CF=x，
∴BF=3$\sqrt{2}$-x，△APE，△BPF是等腰直角三角形，
∴AE=PE=x，PF=BF=3$\sqrt{2}$-x，
∴△AEP的面积=$\frac{1}{2}$x²，△PFB的面积=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{2}$-x）²，矩形ECFP的面积=x•（3$\sqrt{2}$-x）=-x²+3$\sqrt{2}$x；
（2）∵矩形ECFP的面积=-x²+3$\sqrt{2}$x=-（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{9}{2}$，-1＜0，
∴当x=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时，矩形ECFP的面积最大=$\frac{9}{2}$；
此时△AEP的面积=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，△PFB的面积=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．