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阅读材料:如图1,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P的坐标为(xp,yp).由xp-x1=x2-xp,得xp=,同理,所以AB的中点坐标为.由勾股定理得AB2=,所以A、B两点间的距离公式为
注:上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立.
解答下列问题:
如图2,直线l:y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点,P为AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线于点C.
(1)求A、B两点的坐标及C点的坐标;
(2)连结AB、AC,求证△ABC为直角三角形;
(3)将直线l平移到C点时得到直线l′,求两直线l与l′的距离.

【答案】分析:(1)根据y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点,直接联立求出交点坐标,进而得出C点坐标即可;
(2)利用两点间距离公式得出AB的长,进而得出PC=PA=PB,求出∠PAC+∠PCB=90°,即∠ACB=90°即可得出答案;
(3)点C作CG⊥AB于G,过点A作AH⊥PC于H,利用A,C点坐标得出H点坐标,进而得出CG=AH,求出即可.
解答:(1)解:由
解得:
则A,B两点的坐标分别为:A(,3-),B(,3+),
∵P是A,B的中点,由中点坐标公式得P点坐标为(,3),
又∵PC⊥x轴交抛物线于C点,将x=代入y=2x2中得y=
∴C点坐标为().

(2)证明:由两点间距离公式得:
AB==5,PC=|3-|=
∴PC=PA=PB,
∴∠PAC=∠PCA,∠PBC=∠PCB,
∴∠PAC+∠PCB=90°,即∠ACB=90°,
∴△ABC为直角三角形.

(3)解:过点C作CG⊥AB于G,过点A作AH⊥PC于H,
则H点的坐标为(,3-),
∴S△PAC=AP•CG=PC•AH,
∴CG=AH=|-|=
又直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG,
∴直线l与l′之间的距离为
点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及两点之间距离公式和两函数交点坐标求法等知识,根据数形结合得出H点坐标是解题关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2013•益阳)阅读材料:如图1,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P的坐标为(xp,yp).由xp-x1=x2-xp,得xp=
x1+x2
2
,同理yp=
y1+y2
2
,所以AB的中点坐标为(
x1+x2
2
y1+y2
2
)
.由勾股定理得AB2=
.
x2-x1
  
.
2
+
.
y2-y1
  
.
2
,所以A、B两点间的距离公式为AB=
(x2-x1)2+(y2-y1)2

注:上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立.
解答下列问题:
如图2,直线l:y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点,P为AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线于点C.
(1)求A、B两点的坐标及C点的坐标;
(2)连结AB、AC,求证△ABC为直角三角形;
(3)将直线l平移到C点时得到直线l′,求两直线l与l′的距离.

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科目:初中数学 来源:2013年初中毕业升学考试(湖南益阳卷)数学(解析版) 题型:解答题

阅读材料:如图1,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P的坐标为(xp,yp).由xp﹣x1=x2﹣xp,得,同理,所以AB的中点坐标为.由勾股定理得,所以A、B两点间的距离公式为

注:上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立.

解答下列问题:

如图2,直线l:y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点,P为AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线于点C.

(1)求A、B两点的坐标及C点的坐标;

(2)连结AB、AC,求证△ABC为直角三角形;

(3)将直线l平移到C点时得到直线l′,求两直线l与l′的距离.

 

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

.阅读材料:如图9,在平面直角坐标系中,两点的坐标分别为

 ,中点的坐标为.由,得

同理,所以的中点坐标为

由勾股定理得,所以两点

间的距离公式为

注:上述公式对在平面直角坐标系中其它位置也成立.

   

解答下列问题:

如图10,直线与抛物线交于两点,的中点,

轴的垂线交抛物线于点

(1)求两点的坐标及点的坐标;

(2)连结,求证为直角三角形;

(3)将直线平移到点时得到直线,求两

直线的距离.

 


.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读材料:

    如图(1),在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为P,求证:S四边形ABCD=AC·BD.

    证明:∵AC⊥BD  

    ∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=AC·PD+AC·PB=AC(PD+PB)=AC ·BD

解答问题:

(1)上述证明得到的性质可叙述为:    ▲   

(2)已知:如图(2),等腰梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD且相交于点P,AD=3cm,BC=7cm,利用上述的性质求梯形的面积.

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