Question

【题目】已知正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、BC上的点，连接CE、DF相交于点G，CE=DF．

（1）如图①，求证：DF⊥CE；

（2）如图②，连接BD，取BD的中点O，连接OE、OF、EF，求证：△OEF为等腰直角三角形

（3）如图③，在（2）的条件下，将△CBE和△DCF分别沿CB、DC翻折到△CBM和△DCN的位置，连接OM、ON、MN，若AE=2BE，ON=，求EG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）如图1中，证明Rt△CBE≌△Rt△DCF（HL），即可解决问题．

（2）如图2中，连接OC．想办法证明△OBE≌△OCF（SAS），即可解决问题．

（3）如图3中，连接OC．设BE=a，则BM=EB=CF=CN=a，AE=2a，BC=AB=3a，首先证明△OMN是等腰直角三角形，利用勾股定理求出a即可解决问题．

（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠B=∠DCF=90°，

∵DE=CE，

∴Rt△CBE≌△Rt△DCF（HL），

∴BE=CF，∠ECB=∠CDF，

∵∠ECB+∠DCE=90°，

∴∠CDF+∠DCE=90°，

∴∠CGD=90°，

∴EC⊥DF．

（2）如图2中，连接OC．

∵CB=CD，∠BCD=90°，OB=OD，

∴OC=OB=OD，OC⊥BD，

∴∠OCB=45°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，

∴∠OBE=∠OCF，

∵BE=CF，OB=OC，

∴△OBE≌△OCF（SAS），

∴OE=OF，∠BOE=∠COF，

∴∠EOF=∠BOC=90°，

∴△EOF是等腰直角三角形．

（3）如图3中，连接OC．设BE=a，则BM=EB=CF=CN=a，AE=2a，BC=AB=3a，

∵BE=BM，CF=CN，BE=CF，

∴BM=CN，

∵OB=OC，∠OBM=∠OCN=135°，BM=CN，

∴△OBM≌△OCN（SAS），

∴∠BOM=∠COM，

∴∠MON=∠BOC=90°，

∴△MON是等腰直角三角形，

∵OM=ON=，

∴MN=2，

在Rt△MBN中，a2+16a2=68，

∴a=2（负根已经舍弃），

BE=2，BC=6，EC=2，

∵△CGF∽△CBE，

，

，

，

．