Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．
（1）过点E作直线EF交AC边于点F，当EF=AF时，求证：直线EF为半圆O的切线；
（2）当BD=3时，求线段DE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OE．根据切线的判定定理，需证EF⊥OE；
（2）易证△ABC∽△DBE，得比例线段求解．

解答：（本小题满分5分）
证明：（1）连接OE．
∵EF=AF，
∴∠A=∠AEF．
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE．
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∴∠AEF+∠OEB=90°．
∴∠FEO=90°．
∵OE是⊙O半径，
∴EF是⊙O的切线．

解：（2）∵∠C=90°，BC=4，AC=3，
∴AB=5．
∵BD是直径，
∴∠DEB=90°．
∴∠DEB=∠C．
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA．
∴

BD

AB

=

DE

AC

，
∴

3

5

=

DE

3

，DE=

9

5

．

点评：证明经过圆上一点的直线是圆的切线，常作辅助线是连接圆心和该点，证明直线和该半径垂直．