Question

如图，若⊙O的半径为R，弦AB⊥CD于点E，求证：AC²+BD²=4R²．

Answer 1

分析：作直径AF，连接CF、BF．根据直径所对的圆周角是直角，得∠ACF=∠B=90°，则BF∥CD，根据平行弦所夹的弧相等，得弧CF=弧BD，则CF=BD．根据勾股定理即可求解．

解答：证明：作直径AF，连接CF、BF．
∵AF是直径，
∴∠ACF=∠ABF=90°．
∴EB⊥AB，
又∵AB⊥CD，
∴BF∥CD，
∴弧CF=弧BD，
∴CF=BD．
根据勾股定理，得
AC²+BD²=AC²+CF²=AE²=（2R）²=4R²．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论、垂径定理的推论、等弧对等弦以及勾股定理．