Question

23、仿照例子解题：“已知（x²+2x-1）（x²+2x+2）=4，求x²+2x的值”，
在求解这个题目中，运用数学中的整体换元可以使问题变得简单，具体方法如下：
解：设x²+2x=y，则原方程可变为：（y-1）（y+2）=4
整理得y²+y-2=4即：y²+y-6=0
解得y₁=-3，y₂=2
∴x²+2x的值为-3或2
请仿照上述解题方法，完成下列问题：
已知：（x²+y²-3）（2x²+2y²-4）=24，求x²+y²的值．

Answer 1

分析：设x²+y²=m，则原方程式左边变为：（m-3）（2m-4）=2m²-10m+12=2（m²-5m+6），用十字相乘法可得m的值是-1或6．

解答：解：设x²+y²=m，
则原方程可变为：（m-3）（2m-4）=24
∴2（m-3）（m-2）=24．
∴m²-5m+6=12．
∴m²-5m-6=0
解得m₁=6，m₂=-1
∵x²+y²≥0
∴x²+y²的值为6．

点评：本题的关键是把x²+y²看成一个整体来计算，即换元法思想．