Question

1．在直角梯形ABCD中，∠D=90°，高CD=$2\sqrt{3}$cm（如图1），动点P、Q同时从点A出发，点P沿AB、BC运动到点C停止，速度为1cm/s，点Q沿AD运动到点D停止，速度为2cm/s，而点P到达点B时，点Q正好到达点D，设P、Q同时从A点出发的时间为t（s）时，△APQ的面积为y（cm²）所形成的函数图象如图（2）所示，其中MN表示一条平行于X轴的线段．
（1）求出BC的长和点M的坐标．
（2）当点P在线段AB上运动时，直线PQ截梯形所得三角形部分沿PQ向上折叠，设折叠后与梯形重叠部分的面积为S cm²，请求出S与t的函数关系式．
（3）在P、Q的整个运动过程中，将直线PQ截梯形所得三角形部分沿PQ折叠．是否存在某一时刻，使得折叠后与梯形重叠部分的面积为直角梯形ABCD面积的$\frac{1}{4}$？若存在，求出t的值；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）作BH⊥AD于H，连结BD，如图，由于点P在BC上运动时，y为定值，由图（2）得点P运动到B点时y=8$\sqrt{3}$，此时点Q运动到D点，则利用三角形面积公式可计算出AD=8，则可得点Q从点A运动到点D需4s，点P从点A运动到点B需2s，所以AB=4，M点的坐标为（2，8$\sqrt{3}$），然后在Rt△ABH中，利用勾股定理计算出AH=2，于是得到BC=DH=AD-AH=6；
（2）在Rt△ABH中∠A=60°，∠ABH=30°，再证明∠DBA=90°，当0≤t≤4时，接着证明∠APQ=∠ABD=90°，于是可判断当直线PQ截梯形所得三角形部分沿PQ向上折叠，点A的对称点A′总是落在射线AB上，△QAA′为等边三角形，且QA=2t，然后分类讨论：当0≤t≤2时，如图（3），S=$\frac{1}{2}$S_△QAA′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²；当2＜t≤4时，如图（4），QA′交BC于M，易得△MBA′为等边三角形，则S=$\frac{1}{2}$S_△QAA′-S_△BMA′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（4-2t）²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+4$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$；
（3）QA′交BC于M，如图（4），先计算出梯形ABCD的面积，分类讨论：当0≤t≤2时，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²=$\frac{1}{4}$•14$\sqrt{3}$，当2＜t≤4时，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+4$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{4}$•14$\sqrt{3}$，然后分别解方程求出满足条件的t的值．

解答 解：（1）作BH⊥AD于H，连结BD，如图（1），
当点P在BC上运动时，y为定值，由图（2）得点P运动到B点时y=8$\sqrt{3}$，此时点Q运动到D点，即△ABD的面积为8$\sqrt{3}$，
∵$\frac{1}{2}$AD•2$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∴AD=8，
∴点Q从点A运动到点D需4s，
∴点P从点A运动到点B需2s，
∴AB=4，M点的坐标为（2，8$\sqrt{3}$），
在Rt△ABH中，AH=$\sqrt{{4}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴BC=DH=AD-AH=8-2=6，
（2）在Rt△ABH中，∠A=60°，∠ABH=30°，
在Rt△BDH中，∵tan∠BDH=$\frac{BH}{DH}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BDH=30°，
∴∠DBA=90°，
当0≤t≤4时，
∵PA=t，AQ=2t，
∴$\frac{AQ}{AD}$=$\frac{AP}{AB}$，
而∠QAP=∠DAB，
∴△AQP∽△ADB，
∴∠APQ=∠ABD=90°，
∴当直线PQ截梯形所得三角形部分沿PQ向上折叠，点A的对称点A′总是落在射线AB上，
当A点落在点B处时，即点P为AB的中点，此时t=2，
∵QA=QA′，∠A=60°，
∴△QAA′为等边三角形，且QA=2t，
∴当0≤t≤2时，如图（3）连结BD，S=$\frac{1}{2}$S_△QAA′=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2t）²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²；
当2＜t≤4时，如图（4），QA′交BC于M，易得△MBA′为等边三角形，
∵AA′=2t，
∴BA′=2t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$S_△QAA′-S_△BMA′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（4-2t）²=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+4$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$；
即S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}（0≤t≤2）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+4t-4\sqrt{3}（2＜t≤4）}\end{array}\right.$；
（3）存在．
梯形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$（6+8）•2$\sqrt{3}$=14$\sqrt{3}$，
当0≤t≤2时，$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²=$\frac{1}{4}$•14$\sqrt{3}$，解得t=$\sqrt{7}$（舍去）；
当2＜t≤4时，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+4$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$=$\frac{1}{4}$•14$\sqrt{3}$，
整理得t²-8t+15=0，解得t₁=3，t2=5（舍去），
∴当t=3时，使得折叠后与梯形重叠部分的面积为直角梯形ABCD面积的$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了几何变换的综合题：熟练掌握梯形的性质；会画二次函数和一次函数图象以及从函数图象上获取信息；能运用分类讨论的思想解决数学问题和把动点的问题转化为定点问题．