Question

工厂有一批长24cm，宽16cm的矩形铁片，在每一块上截下一个最大的圆铁片⊙O₁之后，再在剩余铁片上截下一个充分大的圆铁片⊙O₂，如图．
（1）求⊙O₁与⊙O₂的半径R、r的长；
（2）能否在第二次剩余铁片上再截出一个与⊙O₂同样大小的圆铁片，为什么？

Answer 1

解：（1）显然⊙O₁的半径是矩形ABCD的宽的一半，即8．
设两圆和BC分别切于点F，E，连接O₁O₂，O₁F、O₂E，得到一个直角梯形，作梯形的另一高．
根据在Rt△GO₁O₂中，由勾股定理，得：
（8+r）²=（8-r）²+（24-8-r）²，
r₁=32-16，r₂=32+16（不合题意舍去）．

（2）因为2r＞8，所以剩余铁皮的宽小于8，所以无法截出一个与⊙O₂同样大小的圆铁片．
分析：（1）显然⊙O₁的直径等于矩形的宽，即16，则R=8；连接两圆的圆心和各个切点，组成一个直角梯形，作梯形的另一高，组成直角三角形，根据勾股定理列方程计算；
（2）根据2r大于铁皮宽（16cm）的一半可知，不能再截出一个与⊙O₂同样大小的圆铁片．
点评：能够构造一个直角三角形，根据勾股定理列方程进行求解．