Question

如图1所示，已知在△ABD和△AEC中，AC=AD，∠CAD=∠BAE，AB=AE
（1）如图1，试说明：△ABD≌△AEC；
（2）如图1，若∠CAD=35°，∠E=56°，∠D=40°，
①试求：∠EOB的度数；
②将△AEC绕点A逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），问当α为多少度时，直线CE分别与△ABD的三边所在的直线垂直？（请直接写出答案）．
（3）如图2将△AEC绕点A顺时针旋转后得到△ABD，并使点D，E，A三点在同一条直线上，若AD=2AB，连接CD，若△CDE的面积为6cm²，你能求出四边形ABDC的面积吗？若能，请求出来；若不能，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先证明∠CAE=∠DAB，再加上条件AC=AD，AB=AE可利用SAS定理证明△ABD≌△AEC；
（2）①计算出∠BAE和∠B的度数，再利用三角形的外角与内角的关系可得∠EOB的度数；
②要分三种情况进行讨论C′E′⊥AD时；CE′⊥BD时；C′E′⊥AB时；
（3）首先证明点E为AD中点，再根据△CDE的面积为6cm²，可得△CAE的面积也为6cm²，△ABD的面积为6cm²，可得四边形ABDC的面积．

解答：（1）证明：∵∠CAD=∠BAE，
∴∠CAD+∠DAE=∠BAE+∠DAE，
即∠CAE=∠DAB，
在△ABD和△AEC中

CA=DA ∠CAE=∠DAB AB=AE

，
∴△ABD≌△AEC（SAS）；

（2）解：①由（1）知△ABD≌△AEC，
∴∠B=∠E=56°，
∵∠CAD=35°，
∴∠BAE=∠CAD=35°，
∴∠EOB=∠BAE+∠B=35°+56°=91°；

②当C′E′⊥AD时，如图3，
∵∠D=40°，∠B=56°，
∴∠DAB=180°-40°-56°=84°，
∵∠E=56°，
∴∠DAE′=180°-56°-90°=34°，
∴∠E′AB=84°-34°=50°，
∴α=∠E′AE=50°-35°=15°；
当CE′⊥BD时，如图4，延长C′E′交DB于点F，
则∠E′FB=90°，
∵∠E′=∠E=56°，
∴∠FE′A=124°，
∵∠B=56°，
∴∠E′AB=360°-90°-124°-56°=90°，
∴α=∠E′AB-∠EAB=90°-35°=55°；
α=55°，
当C′E′⊥AB时，如图5，
∵∠E′=∠E=56°，
∴∠E′AF=180°-90°-56°=34°，
∵∠EAB=35°，
∴∠EAE′=α=180°-34°-35°=111°；

（3）解：能求出四边形ABDC的面积．
∵△ABD是由△AEC绕点A逆时针旋转而得，
∴△ABD≌△AEC，
∴AB=AE，
∵AD=2AB，
∴AD=2AE，即点E为AD中点．
∵△CDE的面积为6cm²，
∴△CAE的面积也为6cm²，△ABD的面积为6cm²，
∴四边形ABDC的面积为18cm²．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质以及图形的旋转，判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟练掌握．