Question

如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,过C作半圆的切线,连接AC, 作直线AD,使∠DAC=∠CAB,AD交半圆于E,交过C点的切线于点D.

(1)试判断AD与CD有何位置关系,并说明理由;

(2)若AB=10,AD=8,求AC的长.

 

Answer 1

【答案】

（1）AD⊥CD；（2）

【解析】

试题分析：(1)连接OC，则OC⊥CD，由OA=OC可得∠OAC=∠OCA，即可得到∠DAC=∠OCA，再根据平行线的性质即可得到结果；

(2)连接BC,根据圆周角定理可得∠ACB=90°，证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求得结果.

(1)连接OC

则OC⊥CD.

∵OA=OC,

∴∠OAC=∠OCA,

又∠OAC=∠DAC,

∴∠DAC=∠OCA,

∴AD∥OC,

∴AD⊥CD.

(2)连接BC

则∠ACB=90°

由(1)得∠ADC=∠ACB,

又∠DAC=∠CAB.

∴△ACD∽△ABC,

∴,即AC²=AD·AB=80,故AC=.

考点：切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质

点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.