Question

如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．令m=

S四边形CFGH

S四边形CMNO

，则m=

1

；又若CO=1，CE=

1

3

，Q为AE上一点且QF=

2

3

，抛物线y=mx²+bx+c经过C、Q两点，则抛物线与边AB的交点坐标是

（

2 3

3

，

1

3

）

．

Answer 1

分析：求出CM=OE-CE，求出四边形CFGH的面积是CO×（OE-CE），求出四边形CMNO的面积是（OE-CE）×CO，即可求出m值；求出EF值，得出EF=QF，得出等边三角形EFQ，求出EQ，求出∠CEF、∠OEA，过Q作QD⊥OE于D，求出Q坐标，代入抛物线求出抛物线的解析式，把x=

2 3

3

代入抛物线即可求出y，即得出答案．

解答：解：∵沿AE折叠，O和F重合，
∴OE=EF，
∵在Rt△CEF中，EF＞CE，
即OE＞CE，
∴CM=|CE-EO|=OE-CE，
∵S_{四边形CFGH}=CF²=EF²-EC²=EO²-EC²=（EO+EC）（EO-EC）=CO×（EO-EC），
S_{四边形CMNO}=CM×CO=（OE-CE）×OC，
∴m=

S四边形CFGH

S四边形CMNO

=1；
∵CO=1，CE=

1

3

，QF=

2

3

，
∴EF=EO=

2

3

=QF，C（0，1），
∴sin∠EFC=

CE

EF

=

1

2

，
∴∠EFC=30°，∠CEF=60°，
∴∠FEA=

1

2

×（180°-60°）=60°，
∵EF=QF，
∴△EFQ是等边三角形，
∴EQ=

2

3

，
过Q作QD⊥OE于D，
ED=

1

2

EQ=

1

3

．
∵由勾股定理得：DQ=

3

3

，
∴OD=

2

3

-

1

3

=

1

3

，
即Q的坐标是（

3

3

，

1

3

），
∵抛物线过C、Q，m=1代入得：

1 3 =( 3 3 )2+ 3 3 b+c 1=c

，
解得：b=-

3

，c=1，
∴抛物线的解析式是：y=x²-

3

x+1，
AO=

3

EO=

2 3

3

，
∵把x=

2 3

3

代入抛物线得：y=

1

3

，
∴抛物线与AB的交点坐标是（

2 3

3

，

1

3

），
故答案为：1，(

2 3

3

，

1

3

)．

点评：本题考查了勾股定理，用待定系数法求二次函数的解析式，等边三角形的性质和判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．