Question

8、NS是⊙O的直径，弦AB丄NS于M，P为弧ANB上异于N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交⊙O于Q．求证：RS＞MQ．（1991，江苏省初中竞赛）

Answer 1

分析：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交⊙O于Q′．连接MQ′，SQ′，根据∠NPS=∠NMB=90°可证N，M，R，P四点共圆，根据圆周角定理可证∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=∠SNQ，得出Q与Q′关于NS成轴对称，则MQ′=MQ，再证明M，S，Q′，R四点共圆，SR为直径，MQ′弦，则RS＞MQ′，可证结论．

解答：证明：连接NP，NQ，NR，NR的延长线交⊙O于Q′．连接MQ′，SQ′，
易证N，M，R，P四点共圆，
∴∠SNQ′=∠MNR=∠MPR=∠SPQ=∠SNQ．
根据圆的轴对称性质可知Q与Q′关于NS成轴对称，∴MQ′=MQ．
又易证M，S，Q′，R四点共圆，
且RS是这个圆的直径（∠RMS=90°），MQ′是一条弦（∠MSQ′＜90°），
∴RS＞MQ′．但MQ=MQ′，
∴RS＞MQ．

点评：本题考查了四点共圆的判定与性质．只要把握已知条件和图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的．