Question

19．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为（1，-1），点C坐标为（4，0），以BC为边在BC的上方作一个正方形ABCD，点A在y轴上，过点A，B，C作一条抛物线．
（1）在线段BC下方的抛物线上是否存在点P，使S_△BCP的面积最大？若不存在，说明理由；若存在，直接写出点P坐标．
（2）把抛物线向上平移m（m＞0）个单位，使得抛物线始终与正方形ABCD的边有4个交点，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，构建全等三角形，如图1，证明△AEB≌△BFC，得出点A的坐标，利用待定系数法求抛物线和BC的解析式，因为点P在抛物线上，所以设P（m，$\frac{5}{6}$m²-$\frac{23}{6}$m+2），则H（m，$\frac{1}{3}$m-$\frac{4}{3}$），表示出PH的长，根据三角形面积=铅直高度×水平宽度，代入可表示出面积，利用配方法求最值，并计算点P的坐标；
（2）设平移后的抛物线的解析式为：y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{23}{6}$x+2+m，作出三个点到四个交点的界限，如图3，当平移后的抛物线与BC有一个交点时，此时与正方形有三个交点，列方程组计算△=0，此时m=$\frac{15}{8}$，观察图形发现当抛物线开始位置时与正方形也有三个交点，向上平移则开始有四个交点，由此写出m的取值．

解答 解：（1）如图1，过B作BE⊥y轴于E，过C作CF⊥BE于F，
则∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°，
∵点B坐标为（1，-1），点C坐标为（4，0），
∴BE=1，FC=OE=1，BF=4-1=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
∴△AEB≌△BFC，
∴AE=BF=3，
∴OA=AE-OE=3-1=2，
∴A（0，2），
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
把B（1，-1），C（4，0），A（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=-1}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{6}}\\{b=-\frac{23}{6}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{23}{6}$x+2，
如图2，过P作PG⊥x轴于G，交BC于H，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（1，-1），C（4，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-1}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{4}{3}$，
设P（m，$\frac{5}{6}$m²-$\frac{23}{6}$m+2），则H（m，$\frac{1}{3}$m-$\frac{4}{3}$），
∴PH=（-$\frac{5}{6}$m²+$\frac{23}{6}$m-2）-（$\frac{4}{3}$-$\frac{1}{3}m$）=-$\frac{5}{6}{m}^{2}+\frac{25}{6}m-\frac{10}{3}$，
∴S_△BPC=$\frac{1}{2}$PH•BF=$\frac{1}{2}$（-$\frac{5}{6}{m}^{2}+\frac{25}{6}m-\frac{10}{3}$）×3=-$\frac{5}{4}{m}^{2}+\frac{25}{4}m-5$=-$\frac{5}{4}$（m-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{45}{16}$，
∵1＜m＜4，
∴当m=$\frac{5}{2}$时，S有最大值，
$\frac{5}{6}$m²-$\frac{23}{6}$m+2=$\frac{5}{6}$×$\frac{25}{4}$-$\frac{23}{6}$×$\frac{5}{2}$+2=-$\frac{19}{8}$，
∴当S_△BCP的面积最大时，点P坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{19}{8}$）；
（2）设平移后的抛物线的解析式为：y=$\frac{5}{6}$x²-$\frac{23}{6}$x+2+m，
如图3，当平移后的抛物线与BC有一个交点时，此时与正方形有三个交点，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}}\\{y=\frac{5}{6}{x}^{2}-\frac{23}{6}x+2+m}\end{array}\right.$，
∴$\frac{5}{6}$${m}^{2}-\frac{23}{6}m+2+m=\frac{1}{3}m-\frac{4}{3}$，
5x²-25x+20+6m=0，
△=（-25）²-4×5×（20+6m）=0，
m=$\frac{15}{8}$，
∴m的取值范围是0＜m＜$\frac{15}{8}$．

点评 本题考查了利用待定系数法求抛物线和一次函数的解析式、二次函数图象的平移问题、最值及正方形的性质，明确平移原则：上→加，下→减，知道求二次函数的最值有两种方法：①配方成顶点式，写出最值，②代入顶点坐标（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）；本题第2问有难度，是考查了函数与直线的交点问题，利用数形结合的方法解决比较简便．