分析 (1)首先过点D作DF⊥BC,交AB于点F,得出∠BDE=∠ADF,以及∠EBD=∠AFD,再得出△BDE≌△FDA(ASA),求出即可;
(2)首先过点D作DG⊥BC,交AB于点G,进而得出∠EBD=∠AGD,证出△BDE∽△GDA即可得出答案.
解答 (1)证明:如图1,过点D作DF⊥BC,交AB于点F,
则∠BDE+∠FDE=90°,
∵DE⊥AD,
∴∠FDE+∠ADF=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,
∴∠C=45°,
∵MN∥AC,
∴∠EBD=180°-∠C=135°,
∵∠BFD=45°,DF⊥BC,
∴∠BFD=45°,BD=DF,
∴∠AFD=135°,
∴∠EBD=∠AFD,
在△BDE和△FDA中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠AFD}\\{BD=DF}\\{∠BDE=∠ADF}\end{array}\right.$,
∴△BDE≌△FDA(ASA),
∴AD=DE;
(2)解:DE=$\sqrt{3}$AD,
理由:如图2,过点D作DG⊥BC,交AB于点G,
则∠BDE+∠GDE=90°,
∵DE⊥AD,
∴∠GDE+∠ADG=90°,
∴∠BDE=∠ADG,
∵∠BAC=90°,∠ABC=30°,
∴∠C=60°,
∵MN∥AC,
∴∠EBD=180°-∠C=120°,
∵∠ABC=30°,DG⊥BC,
∴∠BGD=60°,
∴∠AGD=120°,
∴∠EBD=∠AGD,
∴△BDE∽△GDA,
∴$\frac{AD}{DE}$=$\frac{DG}{BD}$,
在Rt△BDG中,$\frac{DG}{BD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴DE=$\sqrt{3}$AD.
点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质,得出△EBD∽△AGD是解题关键.
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