Question

在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为：A（0，2）、B（3，2）、C（2，3），点P的坐标为（1，1）．
（1）请在图中画出△A′B′C′，使得△A′B′C′关于P与△ABC成异侧的位似图形，且位似比为2：1；
（2）若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A′、B′、C′三个点，请你先直接写出A′、B′、C′的坐标，然后求出这个二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）可以用三角形的一个顶点作为位似中心作图，延长AC到A₁，使A₁C=2AC，同理延长BC到B₁，使B₁C=2BC，连接A₁B₁，三角形A₁B₁C即为所求；
（2）利用待定系数法求得解析式：分别把A′（3，-1）B′（-3，-1）C′（-1，-3）代入解析式得到关于a，b，c的三元一次方程组求解即可得到二次函数的解析式．

解答：解：（1）根据题意画出图形，如图所示：

∴△A′B′C′为所求的三角形；

（2）把A′（3，-1）、B′（-3，-1）、C′（-1，-3）代入解析式得

9a-3b+c=-1 9a+3b+c=-1 a-b+c=-3

，
解得

a= 1 4 b=0 c=- 13 4

，
所以y=

1

4

x2-

13

4

．

点评：主要考查了位似图形的作法和用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数及其图象的性质．
用待定系数法求函数解析式的一般步骤是：
（1）写出函数解析式的一般式，其中包括未知的系数；
（2）把自变量与函数的对应值代入函数解析式中，得到关于待定系数的方程或方程组．
（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数解析式．