分析 (1)利用待定系数法求直线AC的解析式;
(2)作出等腰三角形的对称轴AF,因为C和B是对称点,所以BD与AF的交点就是所求的点M,利用线段垂直平分线的性质可知:直线AF:x=1,点M就是AF与BD的交点,利用方程组求解;
(3)存在,分两种情况:①点P在CD的延长线上时,点P与点A重合,则这时P(1,6);②点P在线段CD上时,利用平行线分线段成比例定理列比例式求出点P的坐标.
解答 解:(1)由题意得:C(-1,0),
设直线AC的解析式为:y=kx+b,
把C(-1,0)、D(0,3)代入得:
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$,
∴直线AC的解析式为:y=3x+3;
(2)存在,如图1,作对称轴交BD于M,交x轴于F,连接CM,
点C与点B关于直线AF对称,
这时CM+DM的值最小,
∵AF是BC的垂直平分线,
∴直线AF的解析式为:x=1,
设直线BD的解析式为:y=kx+b,
把B(3,0),D(0,3)代入得:
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$,
则直线BD的解析式为:y=-x+3,
当x=1时,y=2,
∴M(1,2);
(3)①点P在CD的延长线上时,如图2,当PD=CD时,S△PBD=$\frac{1}{2}$S△PBC,
∵C(-1,0),D(0,3)
∴P(1,6)
这时点P与点A重合;
②点P在线段CD上时,如图3,当PD=$\frac{1}{2}$PC时,S△PBD=$\frac{1}{2}$S△PBC,
过P作PE⊥BC于E,则PE∥OD,
∴$\frac{PE}{OD}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{CE}{CO}$,
∴$\frac{PE}{3}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{CE}{1}$,
∴PE=2,CE=$\frac{2}{3}$,
∴P(-$\frac{1}{3}$,2),
综上所述,存在这样的P点,坐标为(1,6)或((-$\frac{1}{3}$,2).
点评 本题考查一次函数的性质、轴对称最短问题、平行线分线段成比例定理、三角形的面积等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题,学会构建一次函数,利用方程组确定交点坐标,属于中考压轴题.
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