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14.如图所示,已知等腰三角形△ABC的底边BC与X轴重合,BC=4,点B(3,0 ),AC交Y轴于点D(0,3),
( 1 )求直线AC的解析式;
(2)若点M为等腰三角形△ABC的对称轴上一点,是否存在这样的点M,使线段DM+CM的值最小?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)连续BD,在线段AC上是否存在一点P,使S△PBD=$\frac{1}{2}$S△PBC?若存在,试求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

分析 (1)利用待定系数法求直线AC的解析式;
(2)作出等腰三角形的对称轴AF,因为C和B是对称点,所以BD与AF的交点就是所求的点M,利用线段垂直平分线的性质可知:直线AF:x=1,点M就是AF与BD的交点,利用方程组求解;
(3)存在,分两种情况:①点P在CD的延长线上时,点P与点A重合,则这时P(1,6);②点P在线段CD上时,利用平行线分线段成比例定理列比例式求出点P的坐标.

解答 解:(1)由题意得:C(-1,0),
设直线AC的解析式为:y=kx+b,
把C(-1,0)、D(0,3)代入得:
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=3}\end{array}\right.$,
∴直线AC的解析式为:y=3x+3;

(2)存在,如图1,作对称轴交BD于M,交x轴于F,连接CM,
点C与点B关于直线AF对称,
这时CM+DM的值最小,
∵AF是BC的垂直平分线,
∴直线AF的解析式为:x=1,
设直线BD的解析式为:y=kx+b,
把B(3,0),D(0,3)代入得:
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$,
则直线BD的解析式为:y=-x+3,
当x=1时,y=2,
∴M(1,2);

(3)①点P在CD的延长线上时,如图2,当PD=CD时,S△PBD=$\frac{1}{2}$S△PBC
∵C(-1,0),D(0,3)
∴P(1,6)
这时点P与点A重合;
②点P在线段CD上时,如图3,当PD=$\frac{1}{2}$PC时,S△PBD=$\frac{1}{2}$S△PBC
过P作PE⊥BC于E,则PE∥OD,
∴$\frac{PE}{OD}$=$\frac{CP}{CD}$=$\frac{CE}{CO}$,
∴$\frac{PE}{3}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{CE}{1}$,
∴PE=2,CE=$\frac{2}{3}$,
∴P(-$\frac{1}{3}$,2),
综上所述,存在这样的P点,坐标为(1,6)或((-$\frac{1}{3}$,2).

点评 本题考查一次函数的性质、轴对称最短问题、平行线分线段成比例定理、三角形的面积等知识,解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题,学会构建一次函数,利用方程组确定交点坐标,属于中考压轴题.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

4.如图,在?ABCD中,点E在边AD的延长线上,DE=AD,设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{b}$.
(1)试用向量$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$表示下列向量:$\overrightarrow{CD}$=-$\overrightarrow{a}$;$\overrightarrow{EC}$=-$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$;
(2)求作:$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{EC}$+$\overrightarrow{EA}$.(保留作图痕迹,不要求写作法,写出结果).

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5.为了全面开展“阳光体育工程”,某中学准备从体育用品店一次性购买若干个篮球和足球.已知购买4个足球和3个篮球共需360元,购买2个足球和5个篮球共需390元.
(1)购买一个足球和一个篮球分别需45元和60元;
(2)根据该中学的实际情况,需购买足球和篮球共80个,并且篮球个数不少于足球个数的3倍,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.

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2.如图,已知A(-5,0)、B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD∥AB,∠CDA=90°点,P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动,运动时间ts.
(1)求点C的坐标;
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(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.

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9.如图,AB是⊙O的直径,BC⊥AB,垂足为点B,连接CO并延长交⊙O于点D、E,连接AD并延长交BC于点F,则下列结论正确的有(  )
①∠CBD=∠CEB;②$\frac{BD}{BE}$=$\frac{CD}{BC}$;③点F是BC的中点;④若$\frac{BC}{AB}$=$\frac{3}{2}$,tanE=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$.
A.①②B.③④C.①②④D.①②③

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19.已知2m=a,32n=b,求23m+10n的值.

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6.一次函数y=kx+b不经过第二象限,则(  )
A.k>0,b<0B.k>0,b≤0C.k<0,b<0D.k<0,b≤0

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3.问题1:如图,我们将图(1)所示的凹四边形称为“镖形”.在“镖形”图中,∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P.

问题2:如图(2),已知AP平分∠BAD,CP平分∠BCD,∠B=28°,∠D=48°,求∠P的大小;
小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题:
由问题1结论得:∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC,
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC,
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC;
由“外角的性质”得:∠AOC=∠BAO+∠B,∠AOC=∠DCO+∠D.
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D.
所以2∠APC=∠B+∠C.
请帮助小明完善上述说理过程,并尝试解决下列问题(问题1、问题2中得到的结论可以直接使用,不需说明理由);
解决问题1:如图(3)已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、∠D的关系,并说明理由;
解决问题2:如图(4),已知直线AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,则∠P与∠B、∠D的关系为∠P=90°+$\frac{1}{2}$(∠B+∠D).

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4.我国是世界上严重缺水的国家之一.为了增强居民的节水意识,某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费.即一个月用水10吨以内(包括10吨)的用户,每吨收水费a元;一个月用水超过10吨的用户,10吨水仍按每吨a元收费,超过10吨的部分,按每吨b元(b>a)收费.设一户居民月用水x吨,应收水费y元,y与x之间的函数关系如图:
(1)求a的值,并求一个月用水8吨时的水费;
(2)求b的值,并写出当x≥10时,y与x之间的函数关系式.

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