Question

（1）如图1，已知∠EOF=120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC=60°，且与OF、OE分别相交于点B、C，则有AB=AC；
（2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，已知∠AOC=∠BOC=∠BAC=60°，求证：①△ABC是等边三角形； ②OC=OA+OB．

Answer 1

（1）证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，
则∠AHO=∠AGO=90°，
∵∠EOF=120°，
∴∠HAG=60°=∠BAC，
∴∠HAG-∠BAH=∠BAC-∠BAH，
∴∠BAG=∠CAH，
∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，
∴AG=AH，
在△BAG和△CAH中，
∵，
∴△BAG≌△CAH（ASA），
∴AB=AC；

（2）结论还成立，
证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，
与（1）证法类似根据ASA证△BAG≌△CAH（ASA），
则AB=AC；

（3）证明：①如图，∠FOA=180°-120°=60°，
∠FOC=60°+60°=120°，
即OM平分∠COF，
由（2）知：AC=AB，
∵∠CAB=60°，
∴△ABC是等边三角形；
②在OC上截取BO=ON，连接BN，
∵∠COB=60°，
∴△BON是等边三角形，
∴ON=OB，∠OBN=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°=∠NBO，
∴都减去∠ABN得：∠ABO=∠CBN，
在△AOB和△CNB中
∵，
∴△AOB≌△CNB（SAS），
∴NC=OA，
∴OC=ON+CN=OB+OA，
即OC=OA+OB．
分析：（1）过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，求出∠CAH=∠BAG，根据ASA证△BAG≌△CAH，推出AB=AC即可；
（2）证法与（1）类似，过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，求出∠CAH=∠BAG，根据ASA证△BAG≌△CAH，推出AB=AC即可；
（3）①还原图形与图2类似由（2）知AC=AB，∠CAB=60°，根据等边三角形的判定推出即可；
②在OC上截取BO=ON，连接NB，得出等边三角形BON，求出∠ABO=∠CBN，证△AOB≌△CNB，推出NC=OA即可．
点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较典型，证明过程类似，是一道探究性的题目．