Question

正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积．

Answer 1

分析：（1）先根据正方形的性质得∠B=∠C=90°，∠AMB+∠BAM=90°，又∠AMN=90°，则∠AMB+∠NMC=90°，得到∠BAM=∠NMC，再根据相似三角形的判定即可得到结论；
（2）由（1）的结论得到AB：MC=BM：NC，把AB=4，BM=x，MC=4-x代入表示出NC，再根据梯形的面积公式得y=

1

2

（NC+AB）•BC，把NC、AB和BC的长代入得到y与x之间的函数关系式；然后运用配方法将二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质即可求解．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
而∠AMB+∠BAM=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）解：∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴AB：MC=BM：NC，
而AB=4，BM=x，MC=4-x，
∴4：（4-x）=x：NC，
∴NC=

4x-x2

4

，
∴y=

1

2

（NC+AB）•BC
=

1

2

（

4x-x2

4

+4）×4
=-

1

2

x²+2x+8．
即y与x之间的函数关系式为y=-

1

2

x²+2x+8；
∵y=-

1

2

x²+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，
∴当x=2，即当M点运动到BC中点时，四边形ABCN面积最大，最大面积是10．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了正方形的性质，梯形的面积公式以及二次函数的最值，难度中等．