Question

已知点A，点B都在双曲线y=上．点A的坐标为（1，4），点B的横坐标为m（m＞2），分别过点A，点B作x轴的垂线，垂足分别为D，C，且AD，OB相交于点E．

（1）求证：△AOE与直角梯形EDCB的面积相等；
（2）延长BO交双曲线y=于点F，延长AO交双曲线y=于点H，
①当四边形AFHB为矩形时，求点B的坐标；
②当四边形AFHB的面积为时，求直线AB的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B的横坐标代入反比例解析式，表示出纵坐标，由A与B的坐标确定出三角形AOD与三角形BOC的面积相等，都减去三角形OED的面积，即可得到三角形AOE与直角梯形EDCB的面积相等；
（2）由对称性得到OA=OH，OB=OF，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到AFHB为平行四边形，
①当四边形AFHB为矩形时，OA=OB，利用两点间的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出B的坐标；
②由第一问三角形AOE与直角梯形EDCB的面积相等，都加上三角形AEB的面积，得到三角形AOB的面积与直角梯形ABCD的面积公式，直角梯形上底为B的纵坐标，下底为A的纵坐标，高为B与A横坐标之差，利用梯形面积公式表示出梯形ABCD的面积，即为三角形AOB的面积，而四边形AFBH面积为三角形AOB面积的4倍，由已知AFBH的面积列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，确定出B的坐标，设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B的坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线AB的解析式．
解答：解：（1）∵点A（1，4）在双曲线y=上，
∴k=xy=1×4=4，
∵点B也在双曲线y=上，
∴当x=m时，y=，即B（m，），
∵S_△AOD=OD×AD=×1×4=2，S_△BOC=OC×BC=×m×=2，
∴S_△AOD=S_△BOC，
∴S_△AOE+S_△ODE=S_△ODE+S_梯形DEBC，
∴S_△AOE=S_梯形DEBC；

（2）∵双曲线y=是关于原点的中心对称图形，
∴OA=OH，OB=OF，
∴四边形ABHF为平行四边形，
①当AH=BF，即OA=OB时，四边形AFHB为矩形，
∴1+4²=m²+（）²，整理得：（m-）²=9，
解得：m-=3或m-=-3，
∵m＞2，∴＜1，
∴m-＞0，m-=-3，舍去，
由m-=3得，m²-3m-4=0，
解得：m=-1，m=4，
∵m＞2，∴m=4，
∴=1，
此时点B的坐标为（4，1）；
②∵四边形AFHB为平行四边形，且对角线AH，BF相交于O点，
∴S_{平行四边形AFHB}=4S_△AOB，
由（1）知S_△AOE+S_△AEB=S_△AEB+S_梯形DEBC，即S_△AOB=S_梯形ABCD=（BC+AD）×CD，
∵AD=4，BC=，CD=m-1，
∴当四边形AFHB的面积为时，有4×（4+）（m-1）=，
整理得：3m²-8m-3=0，
解得：m=3，m=-＜2（舍去），
此时点B为（3，），
设直线AB：y=ax+b，
将A与B的坐标代入得：，
解得：a=-，b=．
则直线AB：y=-x+．
点评：此题考查了反比例函数的性质，坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，以及待定系数法确定函数解析式，是一道多知识的综合题．