Question

9．把长方形AB′CD沿对角线AC折叠，得到如图所示的图形，已知∠BAO=30°，
（1）求∠AOC和∠BAC的度数；
（2）若AD=3$\sqrt{3}$，OD=$\sqrt{3}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）先依据翻折的性质得到∠B=90°，然后可求得∠BOA=60°，依据邻补角的性质可求得∠AOC的度数，然后依据翻折的性质和平行线的性质可证明∠2=∠3=30°，然后可求得∠BAC的度数；
（2）先求得OA的长度，然后依据AO=OC可求得OC的长，最后在Rt△ODC中，依据勾股定理可求得DC的长

解答 （1）解：∵四边形AB'CD是矩形

∴AD∥B'C，∠B'=90⁰
∴∠1=∠3，
∵翻折后∠1=∠2，
∴∠2=∠3．
∵翻折后∠B=∠B'=90°，∠BAO=30°，
∴∠AOC=∠B+∠BAO=120°，
∴∠2=∠3=30°，
∴∠BAC=∠BAO+∠3=60°，
答：∠AOC为120°，∠BAC为60°．

（2）∵∠2=∠3，
∴AO=CO，AD=$3\sqrt{3}$，OD=$\sqrt{3}$
∴AO=CO=$2\sqrt{3}$，
∵四边形AB'CD是矩形，
∴∠D是直角．
∴在Rt△ODC中，$CD=\sqrt{O{C^2}-O{D^2}}=\sqrt{{{（{2\sqrt{3}}）}^2}-{{（{\sqrt{3}}）}^2}}=3$．
答：CD长3．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理的应用，证得∠3=∠2是解题的关键．