如图.平面直角坐标系中.直线AB与x轴.y轴分别交于A两点.点C.D分别为线段AB.OA上的一动点．(1)若AC=$\sqrt{3}$.AD=$\frac{3}{2}$.试判断CD与OB是否平行?并说明理由．(2)若△ACD∽△ABO.S四边形OBCD=$\sqrt{3}$.求点D的坐标,(3)在第一象限内是否存在点P使得以P.O.B为顶点的三角形与△OBA相似?若存在.请求出所有符合� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，$\sqrt{3}$）两点，点C、D分别为线段AB、OA上的一动点．
（1）若AC=$\sqrt{3}$，AD=$\frac{3}{2}$，试判断CD与OB是否平行？并说明理由．
（2）若△ACD∽△ABO，S_{四边形OBCD}=$\sqrt{3}$，求点D的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P使得以P、O、B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据“平行线分线段成比例”推知CD∥OB；
（2）由相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到AD的长度，则易求点D的坐标；
（3）因为∠AOB=90°，所以以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似需分情况探讨：
当∠OBP=90°时，如图
①若△BOP∽△OBA，则∠BOP=∠BAO=30°，BP=$\sqrt{3}$OB=3，P₁（3，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
②若△BPO∽△OBA，则∠BPO=∠BAO=30°，OP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=1，P₂（1，$\sqrt{3}$）．
③过点P作OP⊥BC于点P，此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°，OP=$\sqrt{3}$BP，过点P作PM⊥OA于点M，∠OPM=30°，OM=$\frac{1}{2}$OP，PM=$\sqrt{3}$OM，从而求得P的坐标．
④若△POB∽△OBA，则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°，所以PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OM，P₄（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）；当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．

解答解：（1）CD与OB平行，理由如下：
∵A（3，0），B（0，$\sqrt{3}$），
∴OA=3，OB=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
又AC=$\sqrt{3}$，AD=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AD}{AO}$=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD∥OB；

（2）∵S_△OAB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，S_{四边形OBCD}=$\sqrt{3}$，
∴S_△ACD=S_△OAB-S_{四边形OBCD}=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ACD∽△ABO，
∴$\frac{AD}{OA}$=$\sqrt{\frac{{S}_{△ACD}}{{S}_{△ABO}}}$=$\sqrt{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即AD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$，
则AD=3-$\sqrt{3}$，
故D（3-$\sqrt{3}$，0）；

（3）当∠OBP=90°时，如图

①若△BOP∽△BAO，
则∠BOP=∠BAO=30°，BP=$\sqrt{3}$OB=3，
∴P₁（3，$\sqrt{3}$）．
②若△BPO∽△BAO，
则∠BPO=∠BAO=30°，BP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OB=1．
∴P₂（1，$\sqrt{3}$）．

当∠OPB=90°时
③过点P作OP⊥BA于点P（如图），

此时△PBO∽△OBA，∠BOP=∠BAO=30°
过点P作PM⊥OA于点M．
在Rt△PBO中，BP=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
OP=$\sqrt{3}$BP=$\frac{3}{2}$．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{3}{4}$；PM=$\sqrt{3}$OM=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
∴P₃（$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）．
④若△POB∽△OBA（如图），
则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴P₄（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）（由对称性也可得到点P₄的坐标）．
当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
综合得，符合条件的点有四个，分别是：P₁（3，$\sqrt{3}$），P₂（1，$\sqrt{3}$），P₃（$\frac{3}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），P₄（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评本题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式和相似三角形的有关知识，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．

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19．

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A．

B．

C．