如图.直线y=kx+4与函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A.B两点.且与x.y轴分别交于C.D两点．(1)若直线y=kx+4与直线y=-x-2平行.且△AOD面积为2.求m的值,(2)若△COD的面积是△AOB的面积的$\sqrt{2}$倍.过A作AE⊥x轴于E.过B作BF⊥y轴于F.AE与BF交于H点．①求AH:OD的值,②求k与m之间的函数关系式,.在(2)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

8．

如图，直线y=kx+4与函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0，m＞0）的图象交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．
（1）若直线y=kx+4与直线y=-x-2平行，且△AOD面积为2，求m的值；
（2）若△COD的面积是△AOB的面积的$\sqrt{2}$倍，过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥y轴于F，AE与BF交于H点．
①求AH：OD的值；
②求k与m之间的函数关系式；
（3）若点P坐标为（2，0），在（2）的条件下，是否存在k，m使得△APB为直角三角形，且∠APB=90°？若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用两直线平行得到k=-1，则确定C（0，4），设A（t，-t，+4），根据三角形面积公式得$\frac{1}{2}$×4×t=2，解得t=1，从而得到A点坐标，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征确定m的值；
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂，y₁＞y₂），由于S_△COD=$\sqrt{2}$S_△AOB，则S_△COD=$\sqrt{2}$（S_△BOD-S_△BOC），利用三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•OC•OD=$\sqrt{2}$（ $\frac{1}{2}$•OC•y₁-$\frac{1}{2}$•OC•y₂），整理得OD=$\sqrt{2}$（y₁-y₂），易得AH：OD=1：$\sqrt{2}$；
②由于OD=4，则（y₁-y₂）²=8，利用完全平方公式变形得到（y₁+y₂）²-4y₁y₂=8，接着由y=$\frac{m}{x}$可得x=$\frac{m}{y}$，代入y=kx+4得y²-4y-km=0，根据根与系数的关系得y₁+y₂=4，y₁•y₂=-km，所以16+4km=8，于是得到k=-$\frac{2}{m}$；
（3）过B作x轴的垂线，垂足分别为N，如图，利用等角的余角相等得∠EAP=∠BPN，则可判断Rt△EAP∽Rt△NPB，利用相似比得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{2}}$，变形得（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，利用x=$\frac{m}{y}$得（$\frac{m}{{y}_{1}}$-2）（$\frac{m}{{y}_{2}}$-2）+y₁y₂=0，所以m²-2m（y₁+y₂）+4y₁y₂+（y₁y₂）²=0，接着把y₁+y₂=4，y₁•y₂=2代入可得m²-8m+12=0，解得m=2或6，然后计算对应的k的值．

解答解：（1）∵直线y=kx+4与直线y=-x-2平行，
∴k=-1，
∴一次函数解析式为y=-x-4，
当x=0时，y=-x+4=4，则C（0，4），
设A（t，-t，+4），
∵△AOD面积为2，
∴$\frac{1}{2}$×4×t=2，解得t=1，
∴A（1，3），
∴m=1×3=3；
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂，y₁＞y₂），
∵S_△COD=$\sqrt{2}$S_△AOB，
∴S_△COD=$\sqrt{2}$（S_△AOC-S_△BOC）
∴$\frac{1}{2}$•OC•OD=$\sqrt{2}$（ $\frac{1}{2}$•OC•y₁-$\frac{1}{2}$•OC•y₂），
即OD=$\sqrt{2}$（y₁-y₂），
而AH=y₁-y₂，
∴AH：OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
②∵OD=4，
∴（y₁-y₂）²=8，即（y₁+y₂）²-4y₁y₂=8，
由y=$\frac{m}{x}$可得x=$\frac{m}{y}$，代入y=kx+4得y²-4y-km=0，
∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=-km，
∴16+4km=8，即k=-$\frac{2}{m}$，
即m与k的关系式为k=-$\frac{2}{m}$（m＞0）；
（3）存在k，m使得△APB为直角三角形，且∠APB=90°．
过B作x轴的垂线，垂足分别为N，如图，
若∠APB=90°，则∠APE+∠BPN=90°，
∵∠APE+∠PAE=90°，
∴∠EAP=∠BPN，
∴Rt△EAP∽Rt△NPB，
∴$\frac{AE}{PN}$=$\frac{PE}{BN}$，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{2-{x}_{1}}{{y}_{2}}$，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
∴（$\frac{m}{{y}_{1}}$-2）（$\frac{m}{{y}_{2}}$-2）+y₁y₂=0，
即m²-2m（y₁+y₂）+4y₁y₂+（y₁y₂）²=0，
而y₁+y₂=4，y₁•y₂=2，
∴m²-8m+12=0，解得m=2或6，
当m=2，k=-$\frac{2}{m}$=-1；当m=6，k=-$\frac{2}{m}$=-$\frac{1}{3}$；
∴存在k，m使得△APB为直角三角形，且∠APB=90°．

点评本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；会求反比例函数与一次函数的交点坐标，灵活运用根与系数的关系；会利用相似比计算线段的长．

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