Question

观察下面的变形规律：

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）证明你猜想的结论；
（3）求和：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

．

Answer 1

分析：（1）观察规律可得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）根据分式加减法的运算法则求解即可证得结论的正确性；
（3）利用上面的结论，首先原式可化为：1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

继而可求得答案．

解答：解：（1）由

1

1×2

=

1

1

-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，…则：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

n+1-n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

；

（3）

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

．

点评：此题考查了分式的加减运算法则，解题的关键是仔细观察，得到规律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后利用规律求解．