有一张矩形纸片ABCD.按下面步骤进行折叠: 第一步:如图①.将矩形纸片ABCD折叠.使点B.D重合.点C落在点处.得折痕EF, 第二步:如图②.将五边形折叠.使AE.重合.得折痕DG.再打开, 第三步:如图③.进一步折叠.使AE.均落在DG上.点A.落在点处.点E.F落在点处.得折痕MN.QP.这样.就可以折出一个五边形DMNPQ. (Ⅰ)请写出图①中一组相� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：

第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，点C落在点处，得折痕EF；

第二步：如图②，将五边形折叠，使AE、重合，得折痕DG，再打开；

第三步：如图③，进一步折叠，使AE、均落在DG上，点A、落在点处，点E、F落在点处，得折痕MN、QP.这样，就可以折出一个五边形DMNPQ.

（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段（写出一组即可）；

（Ⅱ）若这样折出的五边形DMNPQ（如图③）恰好是一个正五边形，当AB=a，AD=b，DM=m时，有下列结论：

①； ②；

③； ④.

其中，正确结论的序号是（把你认为正确结论的序号都填上）.

【答案】

（Ⅰ）(答案不惟一，也可以是等)；（Ⅱ）①②③

【解析】（1）由题意知，C′D与CD是对应线段，而AB=CD，故有AD=C′D；

（2）由题意知点G是矩形的中心，即延长DG过B点，延长MN也过点B，

由于五边形DMNPQ，恰好是一个正五边形，且由折叠的过程知：∠MDB=54°，∠DMB=108°，

∴∠DBM=∠ABM=18°，∴∠DBA=36°．∵DE=BE，∠EDB=∠DBA=36°，

∴∠ADE=∠MDB-∠EDB=54°-36°=18°．

在Rt△ADE中，由勾股定理知，AD²+AE²=DE²=BE²，即b²+AE²=（a-AE）²，

解得AE=．∵tan∠ADE=tan18°=，∴a²-b²=2abtan18°，即①正确；

∵BG=DB=，NG=DM=m，NG⊥BD，∴tan∠GBN=tan18°=NG：BG=m：．

∴m=•tan18°，即②正确．

∵AM=AD-DM=b-m，AB=a，∴tan∠ABM=tan18°=AM：AB=（b-m）：a，∴b=m+atan18°，即③正确，同时④错误．故①②③正确．

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②若AB=AC，BC=12，如图3，= ；③若∠B=30°，∠C=45°，如图4，= ；
（2）实验探究：若△ABC为等边三角形（如图5），设AD的长为m，若重叠三角形A´B´C´存在，试用含m的代数式表示重叠三角形A´B´C´的面积，并写出m的取值范围．