Question

在边长为1的正方形ABCD中，E是AB中点，CE交AF于M．
（1）如图1，当CF=BF时，求S_{四边形AMCD}；
（2）如图2，当CF=2BF时，

CM

EM

=

 

；

AM

FM

=

 

．（直接写出结果）

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接MB，由于E、F都是正方形ABCD的边的中点，S△ABF=S△EBC，所以S△AEM、S△ENB、S△MBF、S△MFC四个三角形的面积相等；然后计算出四个三角形的面积，用正方形ABCD的面积-四个三角形的面积=S_{四边形AMCD}；
（2）过F做AB平行线交CE与点O； OF：BE=OF：AE=2：3=OM：EM=FM：AM，则EM：OM=3：2，又有OE：OC=1：2=BF：CF，所以CM：EM=12：3=4：1．

解答：解：（1）连接MB，
由于E、F都是正方形ABCD的边的中点，S_△ABF=S_△EBC，所以△AEM、△ENB、△MBF、△MFC四个三角形的面积相等；
S_△ABF=S_△EBC=1×

1

2

÷2=

1

4

，
那么四个三角形的面积和是：

1

4

×

4

3

=

1

3

；
所以S_{四边形AMCD}=1×1-

1

3

=

2

3

；

（2）过F做AB平行线交CE与点O；
OF：BE=OF：AE=CF：（CF+FB）=2：（2+1）=2：3=OM：EM=FM：AM，
可得：

AM

FM

=

3

2

；
同理，EM：OM=3：2，OM=2份，EM=3份；
又因为OE：OC=BF：CF=1：2，可得CM=OM+OC=2份+2×OE=2份+2（2+3）份=12份；
所以CM：EM=12：3=4：1=4．
故答案为：4，

3

2

．

点评：此题考查正方形的性质，平行线分线段成比例等知识，这两道题题关键的是作出合理的辅助线，特别是第二题利用比例中的份数关系表示出所求线段的长度，进而求出长度比．