【题目】如图,∠ABD=∠BCD=90°,ABCD=BCBD,BM∥CD交AD于点M.连接CM交DB于点N.
(1)求证:△ABD∽△BCD;
(2)若CD=6,AD=8,求MC的长.
【答案】(1)见解析;(2)MC=2.
【解析】
(1)由两组边成比例,夹角相等来证明即可;
(2)由相似三角形的性质得边成比例,进而利用勾股定理求得BC,再判定∠MBC=90°,最后由勾股定理求得MC的值即可.
(1)证明:∵ABCD=BCBD
∴=
在△ABD和△BCD中,∠ABD=∠BCD=90°
∴△ABD∽△BCD;
(2)∵△ABD∽△BCD
∴=,∠ADB=∠BDC
又∵CD=6,AD=8
∴BD2=ADCD=48
∴BC===2
∵BM∥CD
∴∠MBD=∠BDC,∠MBC=∠BCD=90°
∴∠ADB=∠MBD,且∠ABD=90°
∴BM=MD,∠MAB=∠MBA
∴BM=MD=AM=4
∴MC===2.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,点A(﹣4,0),点E (4,0),以AO为直径作⊙D,点G是⊙D上一动点,以EG为腰向下作等腰直角三角形EGF,连接DF,则DF的最大值是_____.
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【题目】如图,等边△ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,∠ADE=60°
(1)求证:△ABD∽△DCE;
(2)若BD=4,CE=,求△ABC的边长.
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【题目】如图,二次函数的图象与x轴交于A(﹣3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B、D.
(1)请直接写出D点的坐标.
(2)求二次函数的解析式.
(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.
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【题目】某商场一种商品的进价为每件元,售价为每件元.每天可以销售件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件元,求两次下降的百分率;
(2)经调查,若该商品每降价元,每天可多销售件,那么每天要想获得最大利润,每件售价应多少元?最大利润是多少?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠BAD=60°,以AB为直径的⊙O分别交边AD和对角线BD于点E、F,连接EF并延长交边BC于点G,连接BE。
(1)求证:AE=DE;
(2)若⊙O的半径为2,求EG的长
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【题目】如图,平行四边形ABCD的顶点C在y轴正半轴上,CD平行于x轴,直线AC交x轴于点E,BC⊥AC,连接BE,反比例函数y=(x>0)的图象经过点D,已知S△BCE=2,则k的值是_____.
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【题目】定义:在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分,则称P、Q为线段MN的三等分点.
已知一次函数y=﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N,且A、C为线段MN的三等分点(点A在点C的左边).
(1)直接写出点A、C的坐标;
(2)①二次函数的图象恰好经过点O、A、C,试求此二次函数的解析式;
②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点,在此抛物线O、C之间取一点P(点P不与O、C重合)作PF⊥x轴于点F,PF交OC于点E,是否存在点P使得AP=BE?若存在,求出点P的坐标?若不存在,试说明理由;
(3)在(2)的条件下,将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'(点A'在线段AC上,且不与C重合),△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S,试求当S=时点A'的坐标.
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【题目】若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积,我们把这个三角形叫做比例三角形,例如△ABC中,三边分别为a、b、c,若满足b2=ac,则称△ABC为比例三角形,其中b为比例中项.
(1)已知△ABC是比例三角形,AB=2,BC=3,请直接写出所有满足条件的AC的长;
(2)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC.
①请直接写出图中的比例三角形;
②作AH⊥BD,当∠ADC=90°时,求的值;
(3)三边长分别为a、b、c的三角形是比例三角形,且b为比例中项,已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B,顶点为A,O为坐标原点,以OB为直径的⊙M经过点A,记△OAB的面积为S1,⊙M的面积为S2,试问S1:S2的值是否为定值?若是请求出定值,若不是请求出S1:S2的取值范围.
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