Question

4．已知平面直角坐标系中，A（-1，2），B（2，1），线段AB交y轴于C点
（1）求点C的坐标；
（2）在y轴上的点P，若_△ABP≤6，求出P点纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法可求出直线AB的解析式，只需令x=0，就可得到直线AB与y轴交点C的坐标；
（2）运用割补法可得到CP的范围，然后根据CP=|y_P-y_C|，就可求出P点纵坐标的取值范围．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=2}\\{2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$．
故直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{5}{3}$．
当x=0时，y=$\frac{5}{3}$，
则点C的坐标为（0，$\frac{5}{3}$）；

（2）∵A（-1，2），B（2，1），
∴|x_A|=1，|x_B|=2，
∴S_△ABP=S_△ACP+S_△BCP
=$\frac{1}{2}$CP•|x_A|+$\frac{1}{2}$CP•|x_B|
=$\frac{1}{2}$CP•1+$\frac{1}{2}$CP•2
=$\frac{3}{2}$CP．
∵S_△ABP≤6，
∴$\frac{3}{2}$CP≤6，
∴CP≤4，
∴|y_P-$\frac{5}{3}$|≤4，
∴-4≤y_P-$\frac{5}{3}$≤4，
∴-$\frac{7}{3}$≤y_P≤$\frac{17}{3}$．
∴P点纵坐标的取值范围为-$\frac{7}{3}$≤y_P≤$\frac{17}{3}$．

点评 本题主要考查了运用待定系数法求直线的解析式、直线上点的坐标特征、解绝对值不等式等知识，在求三角形面积时用到了割补法，它是求不规则图形面积常用的方法，应熟练掌握，另外，需要注意的是本题中CP=|y_P-y_C|，而不是CP=y_P-y_C．